第1章综合测评卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列各式中，y是x的二次函数的是(C).
A.x2+2y2=2 B.x=y2 C.3x2-2y=1 D. +2y-3=0
2.对于二次函数y=(x-1)2+3的图象，下列说法正确的是(C).
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1，3) D.与x轴有两个交点
（第3题）
3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个矩形花园的最大面积是(C).
A.16m2 B.12m2 C.18m2 D.以上都不对
4.如果抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点，那么m的值等于(C).
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图所示，直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c的对称轴，那么有(D).
A.abc＞0 B.b＜a+c C.a+b+c＜0 D.c＜2b
(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)
6.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C).
A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0
C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值
7.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为点P(-2，2)，与y轴交于点A(0，3).若平移该抛物线使其顶点P由(-2，2)移动到(1，-1)，此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为(A).
A.3 B.2 C.3 D.3
8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度
AB=8m，然后用一根长4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，测得AC=1m，则门高OE为(B).
A.9m B. m C.8.7m D.9.3m
9.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)，B(x1+n，m)两点，则m，n满足的关系为(D).
A.m=n B.m=n C.m=n2 D.m=n2
10.已知二次函数y=-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为(D).
A. B.2 C. D.
（第10题答图）
【解析】二次函数y=-(x-1)2+5的大致图象如答图所示：①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=-(m-1)2+5，解得m=-2或m=2(舍去).当x=n时y取最大值，即2n=-(n-1)2+5，
解得n=2或n=-2(均不合题意，舍去).②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，由①知m=-2.当x=1时y取最大值，即2n=-(1-1)2+5，解得n=，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=-(n-1)2+5，n=，∴m=.∵m＜0，∴此种情形不合题意.∴m+n=-2+
=.故选D.
二、填空题(每题4分，共24分)
11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 y=3（x+2）2+3 (只要写出一个)．
12.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线.若点P(5，0)在抛物线上，则9a-3b+c的值为 0 .
（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)
13.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B(m+2，0),与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是 (-2,0) .
14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M，N的二次函数的图象也过矩形的顶点B，C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y=-x2+x+1 ．
15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y（件）关于降价x（元）的函数表达式为 y=60+x ．
16.已知抛物线y=a(x-1)（x+）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，则a的值是 2或或 ．
三、解答题(共66分)
17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，-3)，且经过点（1，-）．
(1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．
(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a（x-2）2-3，把(1,- )代入,得-=a-3，即a=.
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1.图略.
(2)∵抛物线对称轴为直线x=2,且a>0,∴当x≥2时，y随x的增大而增大；当x≤2时，y随x的增大而减小.
18.(8分)今有网球从斜坡点O处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y=4x-x2的图象的一段，
斜坡的截线OA是一次函数y=x的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．
(第18题)
(1)求网球抛出的最高点的坐标．
(2)求网球在斜坡上的落点A的竖直高度．
【答案】(1)∵y=4x-x2=-（x-4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）.
(2)由题意得4x-x2=x,解得x=0或x=7.当x=7时，y=×7=.∴网球在斜坡的落点A的垂直高度为.
19.(8分)若直线y=x+3与二次函数y=-x2+2x+3的图象交于A，B两点，
(1)求A，B两点的坐标．
(2)求△OAB的面积．
(3)x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？
【答案】(1)由题意得，解得或.∴A，B两点的坐标分别为（0，3），（1，4）.
(2)∵A，B两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA=3，OA边上的高线长是1.∴S△OAB=×3×1=.
(3)当x＜0或x＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.
20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(km)，乘坐地铁的时间y1(min)是关于x的一次函数，其关系如下表所示：
地铁站
A
B
C
D
E
x(km)
8
9
1
11.5
13
y1(min)
18
2
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式.
(2)李华骑单车的时间也受x的影响，其关系可以用y2=x2-11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.
【答案】(1)设y1=kx+b，将(8，18)，(9，20)代入，得,解得.∴y1关于x的函数表达式为y1=2x+2.
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y.则y=y1+y2=2x+2+x2-11x+78=x2-9x+80.∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5.∴李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min.
21.（10分）已知二次函数y=ax2+bx+ (a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A.
(1)当a=时，求点A的坐标.
(2)过点A的直线y=x+k与二次函数的图象相交于另一点B，当b≥-1时，求点B的横坐标m的取值范围.
【答案】(1)∵二次函数y=ax2+bx+ (a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A，∴Δ=b2-4a×=b2-2a=0.∵a=，∴b2=1.∵b＜0，∴b=-1.∴二次函数的表达式为y=x2-x+.当y=0时，x2-x+=0，解得x1=x2=1，∴A(1，0).
(2)∵b2=2a，∴a=b2，∴y=b2x2+bx+= (bx+1)2.当y=0时，x=-，∴A（-，0）.将点A（-,0）代入y=x+k，得k=.由消去y得b2x2+(b-1)x+-=0，解得x1=-，x2=.∵点A的横坐标为-，∴点B的横坐标m=.∴m==2（-）=2（-）2-.∵2＞0，∴当＜时，m随的增大而减小.∵-1≤
b＜0，∴≤-1.∴m≥2×（-1-）2-=3，即m≥3.
22.(12分)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)．
(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．
(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．
(3)对任意负实数k，当x0，函数图象与x轴有两个交点,∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点.
(3)只要写出的m≤－1就可以.∵k
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