3.2 图形的旋转
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；旋转变换是全等变换，即旋转前后的两个图形全等，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角就是旋转角度．
1.如图所示，四边形ABCD为正方形，O为对角线AC，BD的交点，则△COD绕点O(C)可以得到△DOA.
A.顺时针旋转90° B.顺时针旋转45° C.逆时针旋转90° D.逆时针旋转45°
(第1题) （第2题）（第3题）(第4题)
2.如图所示，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，则点C′的坐标为(A).
A.( ，) B.(- ，) C.( ，-) D.(2，2)
3.如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为(B).
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，BC=2，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′的值是(B).
A. B.2 C. D.2
(第5题)(第6题)(第7题) （第8题）
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连结AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为(A).
A.6 B.4 C.3 D.3
6.如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是 45° ．
7.如图所示，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为 2- ．
8.如图所示，点A的坐标为(-1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，-1)，小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着
某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标是 (1，1)或(4，4) .
9.如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD顶点都在格点上．
(1)若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，求点B1，C1，D1的坐标．
(2)若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根，求a的值．
(第9题)
【答案】(1)B1(2，-1)，C1(4，0)，D1(3，2).
(2)AC1==，∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是-3.∴(-3)2+(-3)a+1=0，解得a=-2.
10.如图所示，在△ABC中，∠ACB=135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连结CD，CE．
(第10题)
(1)求证：△ACD为等腰直角三角形．
(2)若BC=1，AC=2，求四边形ACED的面积．
【答案】(1)∵△AED是△ABC旋转90°得到的，∴△ABC≌△AED.∴∠CAD=90°，AC=AD.∴△ACD是等腰直角三角形.
(2)∵△ACD是等腰直角三角形∴∠ADC=∠ACD=45°，AC=AD=2.∴CD==2.∵∠ADE=∠ACB=135°，∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=90°.∵DE=BC=1，
∴S四边形ADEC=S△ACD+S△CDE=×2×2+×2×1=2+.
11.如图所示，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为(B).
A.2 B.3 C.3 D.无法确定
（第11题）(第12题)(第13题)
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为(B).
A.30° B.60° C.90° D.150°
13.如图所示，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正确的结论是(A).
A.①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③
14.如图所示，将正五边形ABCDE的点C固定，并依顺时针方向旋转，若要使新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在直线BC上，则至少要旋转 72° ．
(第14题)(第15题) （第16题） （第16题答图）
15.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 2 ．
16.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是 + .
【解析】如答图所示，连结AD.设AE与CD交于点O.由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形.∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴CD＝AD=AC=2.∵AC=AD，CE=ED，∴AE垂直平分DC.∴EO=DC=.在Rt△AOD中，AD＝2，OD＝CD＝，∴OA＝＝＝.∴AE=EO+OA=+.
17.如图所示，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连结EQ，求证：
(1)EA是∠QED的平分线.
(2)EF2=BE2+DF2.
（第17题）
【答案】(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF.
∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°.∴∠QAE=45°.∴∠QAE=∠FAE.在△AQE和△AFE中，∵，∴△AQE≌△AFE(SAS).∴∠AEQ=∠AEF.∴EA是∠QED的平分线.
(2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴QE=EF.∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.由旋转的性质得∠ABQ＝∠ADB＝45°.∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°.在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，∵QB=DF，∴EF2=BE2+DF2.
18.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
(1)当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值．
(2)如图2所示，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D．
(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△BCD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．
(第18题)
【答案】(1)∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2.在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°.∵CD∥EF，∴α=30°.
(2)∵G为BC中点，∴CG=1.∴CG=CE.∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG.∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α.在△GCD′和△E′CD中，∵，∴△GCD′≌△E′CD.∴GD′=E′D.
(3)能.旋转角α的值为135°或315°时，△DCD′与△BCD′全等.
19.【聊城】如图所示，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上.下列结论中，错误的是(C).
A.∠BCB′=∠ACA′ B.∠ACB=2∠B
C.∠B′CA=∠B′AC D.B′C平分∠BB′A′
（第19题） （第20题）
20.【南宁】如图所示，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至①位置，第二次旋转至②位置……则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为 （6053，2） .
21.如图所示，图1是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图2的程序移动.
(1)请在图1中用圆规画出光点P经过的路径．
(2)在图1中，所画图形是 轴对称 (填“轴对称”或“中心对称”)图形，所画图形的周长是 4π (结果保留π)．
(第21题)
【答案】(1)图略
(2)轴对称 4π
22.(1)如图1所示，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是点Q.若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．
(2)如图2所示，点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
（第22题） （第22题答图）
【答案】(1)如答图1所示，连结PQ.由旋转可知：BQ=BP=2，QC=PA=3.∵四边形ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针旋转90°，才能使点A与点C重合，即∠PBQ=90°.∴∠PQB=45°，PQ=4.在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2.∴∠PQC=90°.∴∠BQC=90°+45°=135°.
(2)如答图2所示，将△ABP绕点B顺时针旋转，使点A与点C重合，此时点P的对应点是点P′.由旋转知，△APB≌△CP′B，∴∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12.∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针旋转60°，才能使点A与点C重合，得∠PBP′=60°.
∵P′B=PB=5，∴△PBP′是正三角形.∴∠PP′B=60°，PP′=5.在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12.∴PC2=PP′2+P′C2.∴∠PP′C=90°.∴∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°.
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