, [学生用书单独成册])
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线x2－y2＝3的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±3x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.双曲线的标准方程为－＝1，故其渐近线方程为y＝±x＝±x.
2．抛物线y2＝8x的焦点坐标是( )
A．(4，0) B．(2，0)
C．(0，2) D．(0，4)
解析：选B.y2＝8x的焦点坐标为(，0)，即(2，0)．
3．若双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是9，那么点P到它的左焦点的距离是( )
A．17 B．17或1
C．4＋9 D．以上都错
解析：选B.设F1，F2为其左、右焦点，由双曲线定义＝＝2a＝8，
所以|PF1|＝1或17.
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为|F1F2|＝2c，所以＝tan 30°，
所以|PF2|＝c，|PF1|＝2|PF2|＝.
由椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，
故e＝＝.
5．已知抛物线y＝2px2(p>0)的准线与圆x2＋y2－4y－5＝0相切，则p的值为( )
A．10 B．6
C. D.
解析：选C.抛物线方程可化为x2＝y(p>0)，由于圆x2＋(y－2)2＝9与抛物线的准线y＝－相切，所以3－2＝，所以p＝.
6．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，过右焦点F2作倾斜角为的弦AB，则△F1AB的面积为( )
A. B．2
C. D.
解析：选B.直线AB的方程为y＝x－2，将其代入－y2＝1，整理得：2x2－12x＋15＝0，因为x1＋x2＝6，x1x2＝，所以y1＋y2＝x1－2＋x2－2＝2.
y1y2＝(x1－2)(x2－2)＝－.
|y1－y2|＝＝.
S△F1AB＝|F1F2||y1－y2|＝×4×＝2.
7．若直线l过点(3，0)与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C.双曲线方程可化为－＝1，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求的直线l有3条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行)．
8．已知定直线l与平面α成60°角，点P是平面α内的一动点，且点P到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆
解析：选D.以l为轴，底面半径为3的圆柱被与l成60°的平面α所截，截面边界线为椭圆．
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线x2－＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.因为双曲线的离心率为＝，所以椭圆的离心率为，即＝，又因为a2－b2＝c2＝3，所以a＝3，b＝.故椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离S为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．抛物线准线方程为y＝－1.根据梯形中位线定理，得所求距离为：S＝＝－1，由抛物线定义得S＝－1≥－1＝2，当A、B、F三点共线时取等号，故选D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．双曲线－y2＝1的离心率等于________．
解析：因为a＝2，b＝1，所以c＝＝，所以e＝＝.
答案：
12．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是________．
解析：由此双曲线与＋y2＝1共焦点，故该双曲线可设为－＝1，将(2，1)代入双曲线得a2＝2.
故双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
13．椭圆4x2＋9y2＝144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在的直线方程为________．
解析：设该弦与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4x＋9y＝144，①4x＋9y＝144，②
①－②得，4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又因为x1＋x2＝6，y1＋y2＝4.
所以k＝＝－，
故该弦所在直线为y－2＝－(x－3)，
即2x＋3y－12＝0.
答案：2x＋3y－12＝0
14．抛物线y2＝2x上距点M(m，0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m的取值范围是________．
解析：设P(x，y)为抛物线上任一点，则|PM|2＝(x－m)2＋y2＝x2－2(m－1)x＋m2
＝[x－(m－1)]2＋2m－1.
因为m>0，所以m－1>－1.
由于x≥0，且由题意知当x＝0时，|PM|最小．
则对称轴x＝m－1应满足－10)，由题意知：2a＝18，2a＝6c，解得a＝9，c＝3，故b2＝a2－c2＝72，所以椭圆C的方程是＋＝1，离心率e＝＝＝.
17．(本小题满分10分)k代表实数，讨论方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲线．
解：当k
微信/支付宝扫码支付