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浙江建人高复2018级第一学期第一次月考数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件互斥，那么 柱体的体积公式
；
如果事件相互独立，那么 椎体的体积公式
；
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 球的表面积公式
次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率
(k = 0,1,…,n). 球的体积公式
台体的体积公式
选择题部分（共40分）
一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 （ ▲ ）
A. B. C. D.
2. 复数的虚部是 （ ▲ ）
（第5题）
A. －1 B. 1 C. D. 3
3. 双曲线的离心率是 （ ▲ ）
A. B. C. 2 D.
4. 若变量x、y满足约束条件，则的最大值为 （ ▲ ）
A. 17 B. 13 C. 5 D. 1
5. 下列函数为偶函数的是 （ ▲ ）
A． B．
C． D．
6. 设等差数列的前项和为，则是的（ ▲ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ▲ ）
A． B． C． D．1
8 . 已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a•b＝2，(a－c)•(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
9. 等腰直角斜边上一点P满足，将沿着翻折至，使二面角为60°，记直线与平面所成角分别为，则（ ▲ ）
A、 B、 C、 D、
10. 设f(x)是定义在上的单调增函数，且对任意的正数x，都有 则f(1) = （ ▲ ）
(A) (B) (C) (D)
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_▲_，表面积等于 _▲__
（第11题图）
12. 随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若，则的值是 ▲ ．
13、若正数满足，则.
14、在中，角所对应的边分别为，其中且，则
15、已知则.
16、设，且自然数x，y，z的乘积能被10整除，则有序自然数组共有 ▲ 组.
17、已知函数，，则方程实根的个数为__▲__个
三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
18．（本小题14分）已知函数（）．
（Ⅰ）求的最小正周期，并求的最小值．
（Ⅱ）令，若对于恒成立，求实数的取值范围.
19. （本小题15分）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，
(Ⅰ) 证明：
(Ⅱ) 求二面角的大小.
20. （本小题15分）设是数列的前项和，，.
⑴求的通项；
⑵设，数列的前项和
21. （本小题15分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心,为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，
求坐标原点到距离的比值.
22. （本小题15分）已知函数.
(Ⅰ) 求的解析式及单调区间；
(Ⅱ) 若，求的最大值
数学答案
一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
D
A
A
B
C
A
二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17.
三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
18、解（Ⅰ）， …..3分
其最小正周期是， …..5分
又当，即时，取得最小值，
所以函数的最小值是，此时的集合为． ….. 7分
（Ⅱ）
….. 9分
由，得，则， ….. 11分
， ….. 12分
若对于恒成立，则
….. 15分
19、解(Ⅰ) 证明：设， 直三棱柱， ， ，
，. …..3分
又，，平面.
又平面,. …..7分
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，，，又已知，.
在中，， .
，. …..9分
法一：取的中点，则易证平面，连结，则，
已知，平面，，
是二面角平面角. …..11分
在中，，.
即二面角的大小为. …..15分
法二：以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则. …..9分
，设平面的法向量为，
则,不妨令,得,故可取.
同理,可求得平面的一个法向量. …..12分
设与的夹角为,则 , .
由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角的大小为. ....15分
…..3分
化简得：
即是公差为2 的等差数列，又，
…..6分
， …..9分
（2） …..11分
…..15分
21、解: (Ⅰ)由对称性可知,为等腰直角三角形,斜边上的高为,斜边长.
点到准线的距离.
由得, , ....1分
. ....3分
圆的方程为. ....6分
(Ⅱ)由对称性,不妨设点在第一象限,由已知得线段是圆的在直径,
,,,代入抛物线得 .....7分
直线的斜率为.直线的方程为. ....9分
由 得,.
由得, .故直线与抛物线的切点坐标为,
....11分
直线的方程为. ....12分
所以坐标原点到，的距离的比值为. ....15分
22、解: (Ⅰ) , ....1分
令得,,
再由,令得.
所以的解析式为. ....3分
,易知是上的增函数,且.
所以
所以函数的增区间为,减区间为. ....6分
(Ⅱ) 若恒成立,
即恒成立，
,
(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;
(2)当时,恒成立, 则,; ....8分
(3)当时, 为增函数,由得,
故
当时, 取最小值.
....10分
依题意有,
即,
,, ....12分
令,则,
,
所以当时, 取最大值.
故当时, 取最大值.
综上, 若，则 的最大值为. ....15分
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