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2019届高三年级学情调研考试
数 学 2018.10
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 集合，，集合≤≤，，则∩ ▲ ．
Read x
If x≤2 Then
y←5x+2
Else
y←2x+1
End If
Print y
（第3题）
2． 设i是虚数单位，若复数，则的虚部为 ▲ ．
3． 执行所示伪代码，若输出的y的值为17，则输入的x的值是 ▲ ．
4． 在平面直角坐标系中，点在角的终边上，且，则
点的坐标为 ▲ ．
5． 某学校要从A，B，C，D这四名老师中选择两名去新疆支教
（每位老师被安排是等可能的），则A，B两名老师都被选中
的概率是 ▲ ．
6． 函数的定义域为 ▲ ．
7． 在等差数列中，，，则数列的前项和 ▲ ．
8． 已知，，则 ▲ ．
9． 已知实数构成一个等比数列，则椭圆的离心率是 ▲ ．
10．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数等于 ▲ ．
11．在△ABC中，已知，则的最小值为 ▲ ．
12．已知圆：，直线：，若在圆上存在一点，
在直线上存在一点，使得的中点是坐标原点，则实数的取值范围是 ▲ ．
13．在直角梯形中，，，，，
与相交于点，是线段上一动点，则的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数，若存在非零实数，使得，
则的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥中，，点在上，为的中点，
且平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求证：平面平面．
17．(本小题满分14分)
已知函数．
（1）解方程；
（2）设，求在上的最小值．
18．(本小题满分16分)
江苏省第十九届运动会将于年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC的支撑杆AB，CD由长为的材料弯折而成（即），AB边的长为（1≤≤）（CA，CB另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线，其表达式为，记结构的最低点O到点C的距离为；曲线是抛物线的一段，此时记结构的最低点O到
点C的距离为．
（1）求函数，的表达式；
（2）要使得点O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？
（参考数据）
19．(本小题满分16分)
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（1）设，求值；
（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
20．(本小题满分16分)
已知函数，．
（1）若，求的最值；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意，都有成立，求整数的最大值．
2019届高三年级学情调研考试
数学附加题 2018.10
21．（A）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
设是矩阵的一个特征向量.
（1）求实数的值；
（2）求矩阵的特征值.
（B）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
圆：()，与极轴交于点（异于极点），求直线的极坐标方程.
22．（本小题满分10分）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（1）求事件 “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，
至少有两次得到虚数” 的概率；
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望
23．（本小题满分10分）
在自然数列中，任取个元素，其余个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为.
（1）求；
（2）证明：，并求出的值.
2019届高三学情调研考试数学答案2018.10
一、填空题．
1．[1,2) 2． 3．4 4． 5． 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12． 13． 14．
一、解答题．
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
解析：（1）由，得，
即………………………………………………………………2分
由余弦定理得，……………………………4分
因为，所以……………………………………………………6分
（2）由（1）知，则，则，………………………8分
因为，所以…………………10分
又因为，
所以
…………………………………………………………12分
……………………………………………14分
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥中，，点在上，为的中点，
且平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求证：平面平面．
解析：（1）因为平面，平面，
平面平面，
所以，………………………………………………4分
因为平面，平面，
所以平面…………………………………………6分
（2）在中，因为为的中点，，
所以是的中点…………………………………………8分
因为，所以，……………………………10分
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，………………………………………………12分
因为平面，
所以平面平面…………………………………………………14分
17．(本小题满分14分)
已知函数．
（1）解方程；
（2）设，求在上的最小值．
（1）或，解得：或； ……………………4分
（2），
则 ……………………………………………………6分
（1）当时，，在上单调减，此时……8分
（2）当时，令，解得：或（舍去）；
∴当时，；当时，；
∴在上单调减，在上单调增，
此时………………………………………………12分
又，………………………………………………………………13分
在上的最小值为…………………………………………………14分
18．(本小题满分16分)
江苏省第十九届运动会将于年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC的支撑杆AB，CD由长为的材料弯折而成（即），AB边的长为（1≤≤）（CA，CB另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB
拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线，其表达式为，记结构的最低点O到点C的距离为；曲线是抛物线的一段，此时记结构的最低点O到
点C的距离为．
（1）求函数，的表达式；
（2）要使得点O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据）
解析：（1）对于曲线，因为曲线的表达式为，
所以点的坐标为，
所以点到的距离为，…………………………………………………………2分
因为，
所以（）；……………………………4分
对于曲线，则点B的坐标为，
所以点O到AB的距离为，…………………………6分
因为，
所以（）…………………8分
（2）因为，
所以在上单调递减，所以当时，取得最大值………………10分
因为，（）
所以当时，取得最大值为，……………………………………………………12分
因为，所以选用曲线，………………………………………………14分
且当时，点O到点C的距离最大，最大值为…………………………………16分
19．(本小题满分16分)
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（1）设，求值；
（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解析：（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
…………………………………………2分
设直线，分别与C1，C2的方程联立，
求得……………………………………………………4分
当时，，分别用表示A，B的纵坐标，
可知……………………………………………………………………8分
（2）t=0时的l不符合题意.
时，BO//AN当且仅当BO的斜率与AN的斜率相等，即
解得 ……………………………………………………………12分
因为，所以，解得…………………………………14分
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；……………………………………15分
当时，存在直线l使得BO//AN.…………………………………………………16分
20．(本小题满分16分)
已知函数，．
（1）若，求的最值；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）对于任意，都有成立，求整数的最大值．
解析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为k＝－1，所以f(x)＝xlnx，f ′ (x)＝lnx＋1．
x
(0，)
(，＋∞)
f ′ (x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
－
单调递增
列表如下：
所以，f(x)的最小值为－，没有最大值；………………………………………………4分
（2）对于任意，都有f(x)＜4lnx成立，
等价于对于任意，都有k＋1＞(1－)lnx成立， ………………………6分
令g(x)＝(1－)lnx，所以g′ (x)＝．
因为，所以g′ (x)＞0，所以g(x)在时单调递增． ……………8分
因为g(x)在时的最大值是g(e3)＝3－．
所以，实数k的取值范围是(2－，＋∞)； ……………………………………………10分
（3）对于任意，都有f(x)＞－2x－k成立，
即对于任意，都有(lnx－k－1)x＞－2x－k成立，
因为，所以(lnx－k－1)x＞－2x－k等价于k＜． ………………12分
令h(x)＝，所以h′ (x)＝．
令p(x)＝－lnx＋x－2，求得p′ (x)＝．
当时所以p′ (x)＞0，p(x)在上单调递增．
因为p(3)＝1－ln3＜1－lne＝0，p(4)＝2－2ln2＞2－2lne＝0，且p(x)图像不间断，
所以p(x)在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分
设唯一零点为x0，则x0∈(3，4），且p(x0)＝－lnx0＋x0－2＝0，即lnx0＝x0－2．
所以，h(x)在[2，x0]上单调递减，在[x0，e2]上单调递增，h(x)在x＝x0时取到最小值h(x0)．
因为lnx0＝x0－2，所以h(x0)＝＝x0，
所以整数k的最大值为3．………………………………………………………………16分
数学附加题参考答案
21．（A）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
设是矩阵的一个特征向量.
（1）求实数的值；
（2）求矩阵的特征值.
解(1)设是矩阵是属于特征值的一个特征向量，则，……2分
即，解得，故实数的值为1…………………………………………5分
（2）矩阵的特征多项式……8分
由，得或，故矩阵的特征值为和…………………………10分
21．（B）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
圆：()，与极轴交于点(异于极点)，求直线的极坐标方程.
解：圆：
所以 …………………4分
所以圆心，与极轴交于 …………………6分
直线的直角坐标方程为 …………………8分
即直线的极坐标方程为． …………………10分
22．（本小题满分10分）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．
（1）求事件 “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，
至少有两次得到虚数” 的概率；
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望
解：（1）……………………………………………………………………………2分
……………5分
（2）可取1，2，4…………………………………………………………………………6分
……………………8分
列出概率分布表：
…………………………………………………………10分
23．（本小题满分10分）
在自然数列中，任取个元素，其余个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为.
（1）求；
（2）证明：，并求出的值.
解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，
所以.……………………………………………………………………………………2分
数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上，
所以.……………………………………………………………………………………4分
（2）数列中任取其中个元素位置不动，则有种，其余个元素重新排列，并且使其余个元素都要改变位置，则有
故，又……………………………………………6分
所以，…………………8分
对任意的，从而
所以………………………………………………………………10分
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