湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考数学（文）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 绝密★2018年10月4日17:00前 湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考 ‎ 文科数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎4．本卷答题时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知命题：，，，则是（ ）‎ A．，，‎ B．，，‎ C．，，‎ D．，，‎ ‎3．已知直线是曲线的切线，则实数（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．已知向量，且，则等于（ ）‎ A．1 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．为了得到函数的图象，只需把上所有的点（ ）‎ A.先把横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位 B.先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移个单位 C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移个单位 D.先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位 ‎6．有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎8．设双曲线（）的半焦距为， 为直线 上两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． 或2 C． 2或 D． 2‎ ‎9．已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则的值等于（ ）‎ A． B． C． 2 D． 4‎ ‎10．已知实数满足：，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎12．若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．，互为共轭复数,且则=____________．‎ ‎14．已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则．‎ ‎15．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是____．‎ ‎16．△的三个内角为，，，若，则的最大值为．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，证明：． ‎ ‎18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎19．如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．‎ ‎（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；‎ ‎（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．‎ ‎20．已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， ．　‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．‎ ‎21．设函数，其中．‎ ‎（1）讨论极值点的个数；‎ ‎（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程。‎ ‎23. [选修4–5：不等式选讲]‎ 已知，函数的最小值为1．‎ ‎（Ⅰ）证明：。‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值。‎ 湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考 ‎ 文科数学试题参考答案及解析 ‎1．B.【解析】由题意得，，，∴，故选B.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎2．C【解析】本题考查全称命题的否定.已知全称命题则否定为故选C.‎ 考点：全称命题的否定.‎ ‎3．C【解析】设切点为，∴切线方程是，‎ ‎∴，故选C.‎ 考点：导数的运用.‎ ‎4．D【解析】由向量，且，则，解得，所以，所以，所以，故选D．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎5．A【解析】把上所有的点横坐标缩短到原来的倍可得到函数的图象，再把的图象向左平移个单位得到函数，故选A.‎ 考点：函数图象的平移变换与伸缩变换.‎ ‎6、A【解析】试题分析：记3个社团分别为A、B、C，依题意得，甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有9种，分别为（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），而两位同学参加同一个社团的种数为3，故所求概率为，故选A．‎ 考点：概率．‎ ‎7．B【解析】几何体为锥与柱的组合体，其中锥的高为1，底面为四分之一个圆，圆半径为1；柱的高为1，底面为直角三角形，两个直角边长分别为1和2，所以体积为，选B.‎ 考点：三视图 ‎8、【答案】A【解析】试题分析：∵直线过两点，∴直线的方程为： ，即，∵原点到直线的距离为， ．又， ，∴，或．∵，∴， ，故离心率为 故选：A．‎ 考点：双曲线的简单性质.‎ ‎9、【答案】C【解析】试题分析：设,是点到准线的距离，,,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C．‎ 考点：抛物线的简单性质 ‎10、B ‎【解析】由约束条件作出可行域如图：‎ ‎， ．‎ 令，变形可得，平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线过点时，纵截距最小，此时取得最大值，即．当目标函数线过点时，纵截距最大，此时取得最小值，即．‎ 因为点不在可行域内，所以，．故B正确．‎ 考点：线性规划．‎ ‎11．A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则， ，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上， 到的最短距离为，故选A.‎ 考点：正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用 ‎12、B【解析】令则题目中问题等价于“当，时，有 ‎ 成立”即可， （i）当 时， 在上单调递减， 由 解得 ‎（ii）当 时， 在区间上单调递增，其值域为 ①当 时，即 时， 在区间上恒成立， 在上单调递增， 由 解得 ，与 矛盾，②时，即时，由的单调性以及值域可知，存在唯一的 ，使 且满足当 为减函数，当 ， 为增函数， ，其中 ，这与矛盾， 综上 的取值范围为.‎ 故选：B．‎ ‎13．【解析】设，代入得，所以，解得，所以.‎ 考点：复数运算.‎ ‎14、45【解析】数列为等比数列，为其前n项和，则可以证明：也成等比数列，所以该等比数列依次为：3，6，12，24，…，故3+6+12+24=45．‎ 考点：等比数列的性质．‎ ‎15、【解析】开始，满足条件；第一次循环；满足条件；第二次循环；满足条件；第三次循环；满足条件；第四次循环；满足条件；第五次循环；不满足条件；∴判断框中应填入的条件是故答案为：．‎ 考点：1.循环结构；2.计算.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎,,展开化简得,所以,则,当,所求的有最大值.‎ 考点：1.三角恒等变换；2.二次函数的最值.‎ ‎17．（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 当时，，，‎ 以上两式相减，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 当时，，‎ ‎∴‎ 考点：已知与的关系求数列通项，放缩法证明不等式．‎ ‎18．（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．‎ 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．‎ ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 理由如下：‎ ‎（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016‎ 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．‎ ‎（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．‎ 考点：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.‎ ‎19．（Ⅰ）由得，‎ 所以.‎ 故.‎ 由，得，‎ 由得，‎ 由，得，所以，故.‎ 因此平面.‎ ‎（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.‎ 由平面得平面平面，‎ 由得平面，‎ 所以是与平面所成的角.‎ 由得，‎ 所以，故.‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.‎ 方法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 由题意知各点坐标如下：‎ 因此 由得.‎ 由得.‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.‎ 由（Ⅰ）可知 设平面的法向量.‎ 由即可取.‎ 所以.‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.‎ ‎20．（1）由的焦点为的顶点，得的焦点， ．‎ 令的方程为，因为在上，所以．‎ 于是由解得， ，所以的方程为．‎ 由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以．‎ 令点， ，则， ，‎ ‎， ．‎ 于是由， ，得 即 两式相乘得．‎ 又因为点在上，所以，即，‎ 代入中，得．‎ 当时，得；‎ 当时，则点或，此时或，也满足方程．‎ 若点与点重合，即时，由解得或．‎ 若点与点重合时，同理可得或．‎ 综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为（， ）．‎ ‎（2）因为点到直线的距离， ，‎ 所以的面积 ‎.‎ 当且仅当，即或，‎ 此时点的坐标为或．‎ ‎21．（1）函数的定义域为，．‎ 令．‎ ‎①当时，，，所以，函数在上单调递增，无极值；‎ ‎②当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 且，所以，在上有唯一零点，从而函数在上有唯一极值点；‎ ‎③当时，若，即时，则在上恒成立，‎ 从而在上恒成立，函数在上单调递增，无极值；‎ 若，即，由于，‎ 则在上有两个零点，从而函数在上有两个极值点．‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上有唯一极值点；‎ 当时，函数在上无极值点；‎ 当时，函数在上有两个极值点．‎ ‎（2），．‎ 假设结论不成立，则有 由①，得，∴，‎ 由③，得，∴，即，即．④‎ 令，不妨设，（），则，‎ ‎∴在上增函数，，‎ ‎∴④式不成立，与假设矛盾．‎ ‎∴．‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的极值；3、反证法．‎ ‎22．（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程。23．（Ⅰ）证明： ，显然在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，‎ 当且仅当时，取得最小值，‎ 所以，即实数的最大值为．‎ 考点：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题。‎