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2019届高三第三次双周练数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则( )
（A） （B） （C） （D）
2．将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数解析式是( )
（A） （B） （C） （D）
3．已知函数，则不等式的解集是( )
（A） （B） （C） （D）
4．如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数.这个函数图像大致是( )
5．下列说法正确的是( )
①命题“”的否定是“”；
②对任意的恒成立；
③是其定义域上的可导函数，“”是“在处有极值”的充
要条件；
④圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
（A）① ② （B）② ③ （C）① ④ （D）② ④
6．已知函数当时，其瞬时变化率为，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
7．函数在内的值域为，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
8．已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设点C（4，0），COB=，则tan等于( )
（A） （B） （C） （D）
9．若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
11．在△中，为的中点，满足，则△的形状一定是( )
（A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）等腰三角形或直角三角形
12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时（是函数的导函数）成立.若, ，，则的大小关系是( )
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．计算______________.
14．已知函数，当时，有最大值，则=__________．
15．是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有成立.当时.则____________.
16．已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式对恒成立，则的最小值等于____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
18．（本小题满分12分）
如图，四边形为等腰梯形， ，将沿折起，使得平面平面，为的中点，连接（如图2）.
（1）求证： ；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
19. （本小题满分12分）
已知椭圆经过两点,为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与圆相交于两点,试问直线与的斜率之积是否为定值？若是,求出该定值；若不是,说明理由．
20． （本小题满分12分）
省环保研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性
污染指数与时刻(时)的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．
（1）令，．求的取值范围；
（2）求；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是否超标．
20． （本小题满分12分）
已知函数，在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）当且时，求证：.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．
22. [选修4-4，坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，
（1）求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程。
（2）设点P为曲线C上的任意一点，求点P到直线的距离的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
（1）已知函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若正实数，满足，求的取值范围．
2019届高三第三次双周练数学（理科）
BCCDCCBBBADC
13．14．15． 1 16．
17．解：（1）,
又，解得．
，是锐角．
（2）．又 ． ． ． ．的周长为：
18．解：（1）证明：在图中，作于，则，又，平面平面，且平面平面，平面，又平面，.
（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
设为平面的法向量，则，即，取.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角的正弦值为.
19. （1）依题意,解得进而可得椭圆方程：
（2）当直线的斜率存在时,可设直线,与椭圆方程联立可得,由相切可得
又,
设则
进而,将带入可得恒成立,
故为定值且定值为
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.若直线的方程为，则
的坐标为此时满足若直线的方程为，则的坐标为此时也满足综上，为定值且定值为
20.解：(1)当时，；
当时， (当x＝1时取等号)，∴，
综上t的取值范围是.
（2）当时，记，则分
∵在[0，a]上单调递减，在上单调递增，且,
. 故.
（Ⅲ）当时，令，得.;
当时，令，得.…
故当时不超标，当时超标．
21.解:(1), 由题意知： 所以
(2)设则
当时，故在上为减函数；当时，故在
上为增函数.又，
（如图），所以，当时，故F（x）在（0，1）上为减函数；当时，故F（x）在上为增函数.
因此，对一切有都成立.
设
故在上为增函数，又，
当所以
当所以
综上可得：，从而有
注：其他构造函数证明方法酌情给分。
22.【答案】⑴,⑵
解:⑴因为直线的极坐标方程为，
所以，即曲线的参数方程为（为参数）
所以⑵设，则到直线的距离为
，所以当时，取最大值
23．解析：（1）由题意知。解得或.（2）因为（，
所以，即的取值范围为．
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