益阳市箴言中学高三第三次模拟考试
理科数学试卷
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
2．已知，
且，则（ ）
A．或 B． C．2或 D．
3．某班的元旦晚会安排6个节目，为考虑整体效果，作如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目乙、丙必须连排，则演出顺序编排方案共有 种（ ）
A．120 B．156 C．188 D．240
4．设等差数列的前几项和为，且，,则，……中最大的项为（ ）
A． B C． D．
5.定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
. . . .
6.在中，已知，，，分别是边上的三等分点，则的值是（ ）
. . . .
7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
2
正视图
2
侧视图
2
俯视图
. . . .
8.过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线相交于点，若，则直线的倾斜角为（ ）
. . . .
9.在边长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）
A. B C. D .
10. 已知函数 （ 且 ）和函数 ，若 与 两图象只有3个交点，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图,已知双曲线上有一点A,它关于原点
的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足,设
,且,则双曲线离心率e的取值范围为( )
A. B
C D
12.正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）
A B. C. D.
一、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
15．已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是__________.
16．若实数满足，则的最小值为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分(12×5=60)。
17.在平面四边形ABCD中，·=0，∠A=450，AB=3，BD=5，
(1)求△ABD的面积；
(2)若DC=1，求△BCD的外接圆的面积.
18．如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（1）证明：MN∥平面PAB;
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
x
y
O
M
N
B
A
F
19． 如图，O为坐标原点，椭圆＋＝1（a>b>0）的短轴长为2，A(a，0)，线段OA的垂直平分线恰过椭圆的右焦点F，且交椭圆于第一象限的点B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N为椭圆上的不同的两点，且直线BM与BN关于直线BF对称，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个值，若不是，请说明理由.
20.为了引导学生正确对待手机，针对现在社会上“手机控”问题，某学校利用国庆节进行社会实践，规定对岁的人群随机抽取人进行了每天使用手机时间，是否符合“手机控”的调查，若每天平均使用手机超过2小时的称为“手机控”，否则称为“非手机控”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图
组数
分组
手机控的人数
占本组的频率
第一组
[25，30)
120
0.6
第二组
[30，35)
195
P
第三组
[35，40)
100
0.5
第四组
[40，45)
a
0.4
第五组
[45，50)
30
0.3
第六组
[50，55)
15
0.3
（1）补全频率分布直方图并求、、的值；
（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加“远离手机体验活动”，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.
21.已知函数
（1） 当时，求的最小值.
（2） 当时，若存在使得对任意
恒成立， 求ɑ 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.已知直线l的参数方程是 (t是参数),以坐标原点为极
点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)过直线l上的点作曲线C的切线,求切线长的最小值.
23.已知不等式2|x－3|＋|x－4|2,
∴直线l与圆C相离.
(2)由直线l上的点 向圆C引切线,则切线长为:
= = ≥4
即切线长的最小值为4
23.[解] (1)当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|
微信/支付宝扫码支付