10月段考.pdf

第 1 页，共 8 页 2019 届高三第二次阶段考试 理科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合  | lgP y y x  ，集合  | 2Q x y x   ，则 ( )RP Q  ð （ ） A． 2,0 B． ( ,0) C． (0, ) D． ( , 2)  2.复数 3 iz i   （i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A． 1 3 10 10 i B． 1 3 10 10 i C． 9 3 10 10 i D． 9 3 10 10 i 3. 已知向量 a  ，b  满足| | 2a  ，| | 4b  ， ( )a a b    ，则向量 a  在b  方向上的投影为（ ） A． 1 B． 2 C． 2 D．1 4.已知变量 x ， y 满足 2 2 0, 1, 1 0, x y x x y          则 2 1 x y x    的取值范围是（ ） A． 1 ,22      B． 3 ,32      C． 1 9,2 4      D． 1 ,32      5.若函数 ( ) 3sin( )f x x   5sin 2 x      ，且 ( ) 2f   ， ( ) 0f   ，   的最小值是 2  ，则 ( )f x 的单调递增区间是（ ） A． 22 ,23 3k k       ( )k Z B． 52 ,26 6k k       ( )k Z C． 5 ,12 12k k       ( )k Z D． ,3 6k k       ( )k Z 6 ．已知 ， 是方程 x 2 +12 x +10=0 的两根，则 = （ ） A ． 4 B ．- 2 或 C ． D ． -2第 2 页，共 8 页 7.在公比为 q 的正项等比数列{ }na 中， 4 4a  ，则当 2 62a a 取得最小值时， 2log q  （ ） A． 1 4 B． 1 4  C． 1 8 D． 1 8  8 ．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无 限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了 圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 ，这就是著名的“徽率”．小 华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为 1 的圆内作正 n 边形求其 面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出 n 的值 分别为（ ） （参考数据： sin20 °≈ 0.3420 ， sin ≈ 0.1161 ） A ． B ． C ． D ． 9. 某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求 安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为 A. 40 B. 60 C. 120 D. 240 10.若函数 2( ) ( )f x x x c  在 2x  处有极大值，则常数 c 为（ ） A．2 或 6 B．2 C．6 D．-2 或-6 11. 已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为 2r ，宽 为 r ，圆半径为 r ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ） A． 34 3 r ， 2(3 2) r B． 32 3 r ， 2(3 2) r C． 34 3 r ， 2(4 2) r D． 32 3 r ， 2(4 2) r 12.设函数 '( )f x 是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数，当 0x  时， 1ln '( ) ( )x f x f xx    ，则使得 2( 4) ( ) 0x f x  成立的 x 的取值范围是（ ） A． ( 2,0) (0,2)  B． ( , 2) (2, )   C． ( 2,0) (2, )  D． ( , 2) (0,2)   第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 2 5( 2 )x x y  的展开式中含有 5 2x y 的项的系数是_________．第 3 页，共 8 页 14.已知 nS 是数列{ }na 的前 n 项和，且 3log ( 1) 1nS n   ，则数列{ }na 的通项公式为______． 15.三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形， 120C   ，侧面 PAB 是等边三角形且与底面 ABC 垂直， 2AC  ，则该三棱锥的外接球表面积为_________． 16.已知 ( )f x 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 (0, )x e ， ( ) lnf x x ，若在区间[ ,3 ]e e ，关 于 x 的方程 ( )f x kx 恰好有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是________． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和为 ，且 +1 = 4 + 2 ， 1 = 1 ． 1 = +1 2 ，求证数列 是等比数列； 2 设 = 2 ，求证数列 是等差数列； 3 求数列 的通项公式及前 n 项和 ． 18. （本小题满分 12 分） 如图，矩形 ABCD 中， AD=2AB=4 ， E 为 BC 的中点，现将△ BAE 与△ DCE 折起，使得平面 BAE 及平面 DEC 都与平面 ADE 垂直． （ I ）求证： BC// 平面 ADE ； （ II ）求二面角 A-BE-C 的余弦值 . 19. （本小题满分 12 分） 十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利 用互联电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100 个蜜柚进行测重， 其质量分布在区间[1500,3000]内（单位：克）， 统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示： （1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000) ， [2000,2250) 的蜜柚中随机抽取 5 个，再从这 5 个蜜柚中随机抽 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均 水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚待出售，某电商提出两种收 购方案： A .所有蜜柚均以 40 元/千克收购； B .低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 的以 80 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.第 4 页，共 8 页 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     . （1）若椭圆的离心率为 1 2 ，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程； （2）点 ( ,0)P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 b a 的直线l 交椭圆C 于 A ，B 两点，试 判断 2 2PA PB 是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= x2+ax-aex ,g(x)为 fx 的导函数 . I 求函数 g x 的单调区间； II 若函数 g x 在 R 上存在最大值 0 ，求函数 f x 在 [0,+ ∞ 上的最大值； III 求证：当 x≥ 0 时， x 2 + 2 x +3 ≤e 2 x（ 3-2sin x） 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 sin cos sin 2 x y        （ 为参数），若以该直角坐标系的 原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为： 2sin 4 2 t      （其中t 为常数）. （1）若曲线 N 与曲线 M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围； （2）当 2t   时，求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 2 1f x x x    ， x R . （1）求 ( ) 1f x  的解集； （2）若 ( )f x x a  有两个不同的解，求 a 的取值范围.第 5 页，共 8 页 2019 届高三第二次阶段考试理科数学参考答案： DBABA DACBC BD 13. 60 14. 8, 1 2 3 , 2n n n a n     15. 20 16. 1 1 1, ,3e e e           17.1 证明：由题意， +1 = 4 + 2 ， +2 = 4+1 + 2 ， 两式相减，得 +2 +1 = 4+1 ， +2 = 4+1 4 ， +2 2+1 = 2+1 2 ， = +1 2 ， +1 = 2 ， 3 分 又由题设，得 1 + 2 = 4 + 2 = 6 ，即 2 = 5 ， 1 = 2 21 = 3 ， 是首项为 3，公比为 2 的等比数列； 4 分 2 证明：由 1 得 = 3 2 1 ， = +1 2 = 3 2 1 ， 5 分 +1 2 +1 2 = 3 4 ，即 +1 = 3 4 ． 6 分 数列 是首项为 1 2 ，公差为 3 4 的等差数列； 7 分 3 解：由 2 得， = 1 2 + 3 4 1 = 3 4 1 4 ， 即 2 = 3 4 1 4 ， = 3 12 2 ． 9 分 则 = 41 + 2 = 3 4 2 1 + 2 ． 12 分 18.第 6 页，共 8 页 19.【解】（1）由题得蜜柚质量在[1750,2000) 和[2000,2250) 的比例为 2:3， ∴分别抽取 2 个和 3 个. 记抽取质量在[1750,2000) 的蜜柚为 1A ， 2A ，质量 在[2000,2250) 的蜜柚为 1B ， 2B ， 3B ， 则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下 10 种： 1 2A A ， 1 1A B ， 1 2A B ， 1 3A B ， 2 1A B ， 2 2A B ， 2 3A B ， 1 2B B ， 1 3B B ， 2 3B B ， 其中质量小于 2000 克的仅有 1 2A A 这 1 种情况，故所求概率为 1 10 . 4 分 （2）方案 A 好，理由如下： 由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750) 的频率为 250 0.0004 0.1  ， 同理，蜜柚质量在[1750,2000) ，[2000,2250) ，[2250,2500) ，[2500,2750) ，[2750,3000] 的 频率依次为 0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 若按方案 A 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为 500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为 1500 1750 1750 2000( 500 5002 2     2000 2250 7502   2250 2500 2500 27502000 10002 2      2750 3000 250) 40 10002     250 250 [(6 7) 2 (7 8) 22         (8 9) 3 (9 10) 8 (10 11) 4         (11 12) 1] 40 1000     25 50[26 30 51 152 84 23]       457500 （元）， 8 分 若按方案 B 收购：∵蜜柚质量低于 2250 克的个数为 (0.1 0.1 0.3) 5000 1750    ， 蜜柚质量低于 2250 克的个数为5000 1750 3250  ， ∴收益为1750 60 3250 80   250 20 [7 3 13 4] 365000       元， ∴方案 A 的收益比方案 B 的收益高，应该选择方案 A . 12 分第 7 页，共 8 页 20.【解析】（1） 1 2e  ，即 1 2 c a  ， 2a c ，不妨令椭圆方程为 2 2 2 2 14 3 x y c c   ， 当 x c 时， 3 2y  ，得出 1c  ，所以椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  . 4 分 （2）令直线方程为 ( )by x ma   与椭圆交于 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 两点， 联立方程 2 2 2 2 ( ) 1 by x ma x y a b       得 2 2 2 2 2 2 22 2b x b mx b m a b   ，即 2 2 22 2 0x mx m a    ， ∴ 1 2x x m  ， 2 2 1 2 2 m ax x  ， 7 分 ∴ 2 2PA PB 2 2 2 2 1 1 2 2( ) ( )x m y x m y      2 2 1 2( ) 1 bx m a       2 2 2 2( ) 1 bx m a       2 2 2 1 221 [( ) ( ) ]b x m x ma         2 2 2 2 1 22 ( )a b x xa   2 2 2 1 2 1 22 [( ) 2 ]a b x x x xa    2 2a b  为定值. 12 分第 8 页，共 8 页 22.【解析】（1）由已知 M ： 2 1y x  ， 2, 2x     ； N ： x y t  . 联立方程有两个解，可得 5 , 2 14t        . （2）当 2t   时，直线 N ： 2x y   ，设 M 上的点为 2 0 0( , 1)x x  ， 0 2x  ，则 2 0 0 1 2 x x d    2 0 1 3 2 4 2 x     3 2 8  ，当 0 1 2x   时取等号，满足 0 2x  ，所以所求的最小 距离为 3 2 8 . 23.【解析】（1） 3, 1 ( ) 3 1, 1 1 3, 1 x x f x x x x x            ， 若 ( ) 1f x  ， 可得{ | 4 0}x x   . （2）结合图象易得 1 3a   .