山西省太原市第五中学2019届高三上学期10月月考试题数学（理）Word版含答案.doc

密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 太原五中2018—2019学年度第一学期阶段性检测 高 三 数 学（理）‎ ‎ 出题人、校对人：张立冬、王萍（2018.10）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.执行该程序框图，若输入的，分别为12，20，则输出的（ ）‎ A. 0 B. 2 ‎ C. 4 D. 12‎ ‎5. 已知数列的前项和，且，则（ ）‎ A. 27 B. C. D. 31‎ ‎6.数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在中，，则的面积等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②点是函数的一个对称中心；‎ ‎③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.‎ 其中正确的判断是（ ）‎ A．①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③‎ ‎11．已知椭圆长轴两个端点分别为A、B，椭圆上一动点P（异于A，B）和A、B的连线的斜率之积为常数，则椭圆C的离心率为( )‎ A． B. C. D．‎ 高三数学(理) 第9页(共12页) 高三数学(理) 第10页(共12页)‎ 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 ‎12. 已知函数，，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D. ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13. 定积分，则展开式中的系数是　　 　．‎ ‎14.已知表示不超过实数的最大整数，函数，是函数的零点，则=　 　　．‎ ‎15. 已知数列中，是其前项和，，则=________.‎ ‎16. 已知四边形中，，，设△与△面 积分别为，.则的最大值为　　 　．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知的内角，，满足．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：‎ 一次购物款（单位：元）‎ 顾客人数 统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占，该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．‎ ‎（1）试确定，的值，并估计每日应准备纪念品的数量；‎ ‎（2）现有5人前去该商场购物，求获得纪念品的人数的分布列与数学期望．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.[‎ 来（1）若直线与抛物线交于点，，且，求；‎ ‎（2）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 高三数学(理) 第9页(共12页) 高三数学(理) 第10页(共12页)‎ 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线，曲线（），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，若与交于点，与的交点为，求的面积.‎ ‎23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.‎ ‎10月月考答案 一、选择题 ‎1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C ‎7.D 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D 二、填空题 ‎13. 80； 14.2； 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设内角，，所对的边分别为，，．‎ 根据，可得，‎ 所以，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2），‎ 所以，所以（时取等号）．‎ ‎18.解：（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有，；．‎ 该商场每日应准备纪念品的数量大约为．‎ ‎（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，·‎ 故5人购物获得纪念品的人数服从二项分布，即，‎ ‎，，，，，‎ 高三数学(理) 第9页(共12页) 高三数学(理) 第10页(共12页)‎ 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 的分布列为： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 数学期望为．‎ ‎19.解:（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．‎ ‎∵在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1． ‎ 取B‎1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间 直角坐标系： ，如图所示，则B(1，0，0)，D(1，1，0)， A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，∴，，．‎ ‎∴，，∴，，∴AB1平面A1BD．‎ ‎（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为． ，．‎ ‎∵，，∴，∴，，令得为平面A1AD的一个法向量．由（1）知 AB1平面A1BD，为平面A1BD的法向量，‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角A－A1D－B的大小的余弦值为 ‎20. 解：（1）由，消去得.‎ 设，的坐标分别为，，则，.‎ ‎∴，∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：由，得或，则.‎ 设直线：，与联立得.‎ 由，得，∴.‎ 设直线：，与联立得.‎ 由，得，∴.‎ 故直线：，直线：，‎ 从而不难求得，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.‎ ‎21.解析：（Ⅰ）解：当时，，‎ 高三数学(理) 第9页(共12页) 高三数学(理) 第10页(共12页)‎ 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 所以．‎ 所以，. ‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）证法一：当时，.‎ 要证明，只需证明.‎ 设，则.‎ 设，则，‎ 所以函数在上单调递增．‎ 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且.‎ 因为时，所以，即.‎ 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值 故．‎ 综上可知，当时，.‎ 证法二：因为，‎ 要证明，只需证明.‎ 设，则.‎ 设，则．‎ 所以函数在上单调递增．因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且.因为，所以，即．‎ 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值．‎ 故．‎ 综上可知，当时，．‎ ‎22．解：（Ⅰ）因为， ‎ ‎ ∴的极坐标方程为. ‎ 曲线的直角坐标方程为 从而曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，即， ‎ 将代入，得，即，从而，‎ 高三数学(理) 第9页(共12页) 高三数学(理) 第10页(共12页)‎ 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 因为到直线的距离为，则的面积为.‎ ‎23.解: （Ⅰ）；‎ ‎ 当时，由，解得；‎ ‎ 当时，，不成立；‎ ‎ 当时，由，解得；‎ ‎ 综上可知：不等式的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ 又∵不等式的解集不是空集 ‎∴‎ 故实数的取值范围是. ‎ 高三数学(理) 第9页(共12页) 高三数学(理) 第10页(共12页)‎