2018-2019 学年苏州市九年级（上）期中数学模拟试卷
考试范围：苏科版 2013 年教材九年级数学上册全部内容，加九年级下册第 5 章《二次
函数》。考试题型：选择、填空、解答三大类；考试时间：120 分钟；试卷分值：130 分。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A． ；B．ax2+bx+c=0；C．（x﹣1）（x+2）=1；D．3x2﹣2xy﹣5y2=0。
2．（3 分）已知二次函数 y=2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（3，1） B．开口向下，顶点坐标（3，1）
C．开口向上，顶点坐标（﹣3，1） D．开口向下，顶点坐标（﹣3，1）
3．（3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 y=2x2 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的
解析式为（ ）
A．y=2x2﹣2 B．y=2x2+2 C．y=2（x﹣2）2 D．y=2（x+2）2
4．（3 分）当用配方法解一元二次方程 x2﹣3=4x 时，下列方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=7
5．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+ k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．（3 分）数学兴趣小组比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分） 60 70 80 90 100
人数（人） 7 12 10 8 3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70 分，70 分 B．80 分，80 分 C．70 分，80 分 D．80 分，70 分
7．（3 分）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物
线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移
3 个单位，得到的抛物线过点( )
A. ； B. ； C. ； D.
8．（3 分）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与 轴的交点坐标为 ； B. 图像的对称轴在 轴的右侧；
C. 当 时， 的值随 值的增大而减小； D. 的最小值为-3。
9．（3 分）如图，抛物线 y=x2+1 与双曲线 y= 的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式
﹣1＞0 的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0（第 9 题） （第 10 题）
10．（3 分）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点 P 是斜边 AB 上一点．过点
P 作 PQ⊥AB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP=x，△APQ 的面积为 y，则 y
与 x 之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分，将答案填写在答题纸上）
11．（3 分）方程 x2=4 的解为 ．
12．（3 分）已知 1 是关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一个根，则 m 的值是 ．
13．（3 分）某校规定学生的体育成绩由三部分组成，早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩
的 15%，体育理论测试占 35%，体育技能测试占 50%，小明的上述三项成绩依次是 94 分，
90 分，96 分，则小明这学期的体育成绩是 分．
14．（3 分）一组数据 2，3，x，5，7 的平均数是 5，则这组数据的中位数是 ．
15．（3 分）某型号的手机连续两次降价，单价由原来的 5600 元降到了 3584 元．设平均每
次降价的百分率为 x，则可以列出的一元二次方程是 ．
16．（3 分）已知 a、b 为一元二次方程 x2+3x﹣2017=0 的两个根，那么 a2+2a﹣b 的值为 ．
17．（3 分）若函数 y=（a﹣1）x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 ．
18．（3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标
为（﹣1，0），该抛物线的部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程 ax2+bx+c=0 的
两个根是 x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当 x＜0 时，y 随 x 增大而减小；⑤点 P（m，n）是
抛物线上任意一点，则 m（am+b）≤a+b，其中正确的结论是 ．（把你认为正确的结
论的序号填写在横线上）
三、简答题（本大题共 10 小题，共 76 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12 分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0（用配方法解） （2）（x﹣1）2=4x（x﹣1）（3） ．20．（5 分）已知抛物线 y=x2+kx+k﹣2，直线 y=x，求证：抛物线和直线总有交点．
21．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣4x+2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）等腰△ABC 中，AB=AC=2，若 AB、BC 的长是方程 kx2﹣4x+2=0 的两根，求 BC 的长．
22．（6 分）某公司共 25 名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为 6276 元．你认为用平均数、中
位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
23．（6 分）初三（1）班要从 2 男 2 女共 4 名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这 4 人中随机选 1 人，则所选的同学性别为男生的概率是 ．
（2）若从这 4 人中随机选 2 人，求这 2 名同学性别相同的概率．
24．（6 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2=0 有两个实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1•x2﹣1，求 k 的值．
25．（9 分）如图，二次函数 y=ac2+bx+c 的图象经过 A，B，C 三点．
（1）观察图象，直接写出：当 x 满足 时，抛物线在直线 AC 的上方．
（2）求抛物线的解析式；
（3）观察图象，直接写出：当 x 满足 时，y＜0；
（4）若抛物线上有两个动点 M（m，y1），N（m+2，y2），请比较 y1 和 y2 的大小．26．（8 分）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场 ABCD，他打算让矩形养兔场的一边
完全靠着墙 MN，墙 MN 可利用的长度为 24 米，另外三面用长度为 50 米的篱笆围成（篱
笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）
（1）若要使矩形养兔场的面积为 300 平方米，则垂直于墙的一边长 AB 为多少米？
（2）该矩形养兔场 ABCD 的面积有最大值吗？若有最大值，请求出面积最大时 AB 的长度，
若没有最大值，请说明理由．
27．（9 分）如图①，抛物线 y=a（x2+2x﹣3）（a≠0）与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点
C，且 OC=OB．
（1）直接写出点 B 的坐标是（ ， ），并求抛物线的解析式；
（2）设点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线 l，如图②，连接 BD，线段 OC 上的
点 E 关于直线 l 的对称点 E′恰好在线段 BD 上，求点 E 的坐标．
（3）若点 F 为抛物线第二象限图象上的一个动点，如图③连接 BF，CF，当△BCF 的面积是
△ABC 面积的一半时，求此时点 F 的坐标．
28．（9 分）如图①，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）两点，
与 y 轴交于点 C，在 x 轴上有一个动点 D（m，0），其中 0＜m＜3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 D 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 E，交抛物线于点 F，过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，
设△ADE 的周长为 C1，△EFG 的周长为 C2，若 = ，求 m 的值．
（3）如图②，动点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC
边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 P，Q 运动到 t 秒时，△APQ
沿 PQ 所在的直线翻折，点 A 恰好落在抛物线上 H 点处，请直接判定此时四边形 APHQ
的形状，并求出点 H 坐标．参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次
项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行
验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、原方程为分式方程；故 A 选项错误；B、当 a=0 时，即 ax2+bx+c=0 的二次
项系数是 0 时，该方程就不是一元二次方程；故 B 选项错误；
C、由原方程，得 x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故 C 选项正确；
D、方程 3x2﹣2xy﹣5y2=0 中含有两个未知数；故 D 选项错误．故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是
否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．
2．（3 分）【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向及顶点坐标，可得出答案．
【解答】解：∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1），故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a（x
﹣h）2+k 中，顶点坐标为（h，k）．
3．（3 分）【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【解答】解：二次函数 y=2x2 的图象向上平移 2 个单位，得 y=2x2+2．故选：B．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（3 分）【分析】原方程变形为 x2﹣4x=3，再在两边都加上那个 22，即可得．
【解答】解：x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=3+4，即（x﹣2）2=7，故选：D．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为 1，
即方程两边除以 a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的
平方．
5．（3 分）【分析】利用方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于 k 的方程，
即可求得 k 的值．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+ k=0 有两个相等的实数根，
∴△=0，即 22﹣4×1× k=0，解得 k=2，故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
6．（3 分）C；7．（3 分）B；8．（3 分）D；
9．（3 分）【分析】先把不等式整理成 x2+1＜ ，然后根据图形找出二次函数图象在反比例
函数图象下方部分的 x 的取值范围即可．
【解答】解：由 ﹣x2﹣1＜0 得，x2+1＜ ，
∵点 A 的横坐标为 1，如图所示，∴不等式的解集是 0＜x＜1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解是解题的关键．
10．（3 分）【分析】分点 Q 在 AC 上和 BC 上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点 Q 在 AC 上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°= ，
∴y= ×AP×PQ= ×x× = x2；当点 Q 在 BC 上时，如下图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°= （16﹣x）．
∴ = = ．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点 Q 在 BC 上这种情
况．
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分，将答案填写在答题纸上）
11．（3 分）【分析】利用直接开平方法，求解即可．
【解答】解：开方得，x=±2，即 x1=2，x2=﹣2．故答案为，x1=2，x2=﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣直接开平方法，比较简单．
12．（3 分）【分析】把 x=1 代入原方程，借助解一元一次方程来求 m 的值．注意：二次项系
数不等于零．
【解答】解：∵1 是关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一个根，
∴（m﹣1）×12+1+1=0，且 m﹣1≠0，解得，m=﹣1．故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二
次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得
式子仍然成立．
13．（3 分）93.6；14．（3 分）5；
15．（3 分）【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用 x 表示第一
次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，由题意得出方程为：5600（1﹣x）2=3584．
故答案为：5600（1﹣x）2=3584．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解决此类两次变化问题，可利用公式 a
（1﹣x）2=c，其中 a 是变化前的原始量，c 是两次变化后的量，x 表示平均每次的降低率．
16．（3 分）【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系可得出 a2+3a=2017、a+b=
﹣3，将其代入 a2+2a﹣b=a2+3a﹣（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a、b 为一元二次方程 x2+3x﹣2017=0 的两个根，∴a2+3a=2017，a+b=﹣3，
∴a2+2a﹣b=a2+3a﹣（a+b）=2017﹣（﹣3）=2020．故答案为：2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解以及根
与系数的关系找出 a2+3a=2017、a+b=﹣3 是解题的关键．
17．（3 分）【分析】直接利用抛物线与 x 轴相交，b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案．
【解答】解：∵函数 y=（a﹣1）x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，
当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1 或 2 或 1．
【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，正确得出关于 a 的方程是解题关键．
18．（3 分）【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得
到抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到 b=
﹣2a，然后根据 x=﹣1 时函数值为 0 可得到 3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数
的性质对④进行判断；根据函数开口向下，可知 y=ax2+bx+c 具有最大值，可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1，而点（﹣1，0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（3，0），
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣ =1，即 b=﹣2a，而 x=﹣1 时，y=0，即 a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1，∴当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大，所以④错误；
由图象可知，x=1 时，y=ax2+bx+c 取得最大值，∴am2+bm+c≤a+b+c．
即 m（am+b）≤a+b，故⑤正确。故答案为①②⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的思想将二次函
数与函数图象结合在一起．
三、简答题（本大题共 10 小题，共 76 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12 分）【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解
即可；（2）先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）
先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1=0，x2﹣2x=1，x2﹣2x+1=1+1，（x﹣1）2=2，
x﹣1= ，x1=2+ ，x2=1﹣ ；
（2）（x﹣1）2=4x（x﹣1），（x﹣1）2﹣4x（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣1﹣4x）=0，
x﹣1=0，x﹣1﹣4x=0，x1=1，x2= ；
（3）方程两边都乘以（x+!）（x﹣1）得：2=（x+1）（x﹣1）+x+1，解得：x=﹣2 或 1，
检验：当 x=1 时，（x+1）（x﹣1）=0，此时方程无解；
当 x=﹣2 时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以 x=﹣2 是原方程的解，即原方程的解为 x=﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解
（1）（2）的关键，能把分式方程变成整式方程是解（3）的关键．
20．（5 分）【分析】两函数解析式组成方程组，把方程组转化成一元二次方程，求出△的值，
再求出即可．
【解答】证明：根据题意得出方程组 ，
把 y=x 代入 y=x2+kx+k﹣2 得：x2+kx+k﹣2=x，x2+（k﹣1）x+k﹣2=0，
△=（k﹣1）2﹣4×1×（k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2≥0，所以抛物线和直线总有交点．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式等知识点，能转
化成一元二次方程是解此题的关键．
21．（6 分）【分析】（1）由二次项系数非零结合根的判别式△＞0，即可得出关于 k 的一元
一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围；（2）代入 x=2 求出 k 值，再利用因式分解
法解一元二次方程即可得出 BC 的长．
【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣4x+2=0 有两个不相等的实数根，∴ ，解得：k＜2 且 k≠0．
（2）将 x=2 代入原方程，得：4k﹣8+2=0，解得：k= ，
∴原方程为 x2﹣4x+2=0，即（3x﹣2）（x﹣2）=0，解得：x1=2，x2= ，∴BC 的长为 ．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、一元二次方程的解、三角形三边关
系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的
判别式△＞0，列出关于 k 的一元一次不等式组；（2）代入 x=2 求出 k 值．
22．（6 分）解：（1）为 3400；3000；……………… （4 分）
（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：
平均数受极端值 45000 元的影响，只有 3 个人的工资达到了 6276 元，不恰当；（2 分）
23．（6 分）【考点】概率公式；列表法与树状图法．
【专题】常规题型．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）列举出所有 12 种等可能的结果数，再找出这 2
名同学性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：
（1）从这 4 人中随机选 1 人，则所选的同学性别为男生的概率= = ，故答案为： ；
（2）从 4 人中随机选 2 人，所有可能出现的结果有：（男 1，男 2）、（男 1，女 1）、（男 1，
女 2）、（男 2，男 1）、（男 2，女 1）、（男 2，女 2）、（女 1，男 1）、（女 1，男 2）、（女 1，
女 2）、（女 2，男 1）、（女 2，男 2）、（女 2，女 1），共有 12 种，它们出现的可能性相同，
满足“这 2 名同学性别相同”（记为事件 A）的结果有种，所以 P（A）= = ．
【点评】考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，
再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率．
24．（6 分）【分析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，然后解
不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到 x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，然后代入|x1+x2|=x1•x2
﹣1，得到关于 k 的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）由方程有两个实数根，可得：
△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得 k≤ ；
答：k 的取值范围是 k≤ ；
（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，由（1）可知 k≤ ，
∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1+x2﹣1，
∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得 k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k 的值是﹣3．
答：k 的值是﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根
时，x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．也考查了根的判别式．
25．（9 分）【分析】（1）根据图象即可得到结论；（2）先写出 A、B、C 三点的坐标，利用待
定系数法求解析式；（3）根据对称性写出与 x 轴的两个交点坐标，由图象得出当﹣1＜x
＜3 时，y＜0．（4）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）观察函数图象，可知：当 x＜﹣1 或 x＞4 时，抛物线在直线 AC 的上方．故答案为：x＜﹣1 或 x＞4；
（2）将 A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）代入 y=ax2+bx+c 中，
，解得： ，∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3；
（3）观察图象，当 x 满足﹣1＜x＜3 时，y＜0；故答案为：﹣1＜x＜3；
（4）∵抛物线的对称轴为 x= =1，∴当 m＜0 时，y1＞y2，
当 m＞0 时，y1＜y2，当 m=0 时，y1=y2．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，利用配方法或
公式法可以求二次函数的顶点坐标和对称轴；是常考题型，难度不大，同时还运用了数
形结合的思想求自变量的取值范围．
26．（8 分）【分析】（1）设所围矩形 ABCD 的宽 AB 为 x 米，则宽 AD 为（50﹣2x）米，根据
矩形面积的计算方法列出方程求解．（2）将所得函数解析式配方成顶点式，再结合 x 的
取值范围利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设所围矩形 ABCD 的宽 AB 为 x 米，则宽 AD 为（50﹣2x）米．
依题意，得 x•（50﹣2x）=300，即，x2﹣25x+150=0，解此方程，得 x1=15，x2=10．
∵墙的长度不超过 24m，∴x2=10 不合题意，应舍去．∴垂直于墙的一边长 AB 为 15 米．
（2）∵50﹣2x≤24，∴x≥13，矩形的面积 y=x•（50﹣2x）=﹣2（x﹣12.5）2+312.5，
∴当 x＞12.5 时，y 随 x 的增大而减小，∴当 x=13 时，y 取得最大值，即 AB=13 米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出面积关于矩
形宽度的函数解析式及二次函数的性质．
27．（9 分）【分析】（1）解方程 a（x2+2x﹣3）=0 可得 B（﹣3，0），A（1，0），易得 C（0，
﹣3a），则利用 OB=OC 得到﹣3a=3，解得 a=﹣1，从而得到抛物线解析式；
（2）如图②，把一般式配方得到 y=﹣（x+1）2+4，则 D（﹣1，4），利用待定系数法求出直
线 BD 的解析式为 y=2x+6，设 E（0，t），利用对称的性质得 E′（﹣2，t），然后把 E′（﹣2，
t）代入 y=2x+6 求出 t，从而得到点 E 的坐标；
（3）易得直线 BC 的解析式为 y=x+3，作 FG∥y 轴交直线 BC 于 G，如图③，设 F（x，﹣x2
﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则 G（x，x+3），所以 FG=﹣x2﹣3x，利用三角形面积公式得到 S△
FBC= •3•（﹣x2﹣3x），然后利用△BCF 的面积是△ABC 面积的一半得到 •3•（﹣x2﹣3x）
= • •4•3，然后解方程求出 x 从而得到 F 点的坐标．
【解答】解：（1）当 y=0 时，a（x2+2x﹣3）=0，解得 x1=﹣3，x2=1，则 B（﹣3，0），A（1，
0），
当 x=0 时，y=﹣3a，则 C（0，﹣3a），
∵OB=OC，∴﹣3a=3，解得 a=﹣1，∴抛物线解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；故答案为﹣3，0；
（2）如图②，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4），
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，把 B（﹣3，0）、（﹣1，4）代入得 ，解得 ，
∴直线 BD 的解析式为 y=2x+6，设 E（0，t），
∵E′点与点 E 关于直线 x=﹣1 对称，∴E′（﹣2，t），
把 E′（﹣2，t）代入 y=2x+6 得 t=﹣4+6=2，∴点 E 的坐标为（0，2）；
（3）易得直线 BC 的解析式为 y=x+3，作 FG∥y 轴交直线 BC 于 G，如图③，设 F（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则 G（x，x+3），
∴FG=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，∴S△FBC= •3•（﹣x2﹣3x），
∵△BCF 的面积是△ABC 面积的一半，∴ •3•（﹣x2﹣3x）= • •4•3，解得 x1=﹣1，x2=
﹣2，
∴F 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数
的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．
28．（9 分）【分析】（1）利用交点式可直接写出抛物线的解析式；
（2）（2）如图①，易得 C（0，﹣4），利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y= x﹣4，
则 F（m， m2﹣ m﹣4），E（m， m﹣4），接着用 m 分别表示出 EF 和 AE，AE= （3
﹣m），然后证明△EDA∽△EGF，则根据相似三角形的性质得 = ，从而解关
于 m 的方程可确定 m 的值；
（3）如图③，GH 交 y 轴于 M，利用折叠的性质得 QA=QH，PA=PH，加上 AP=AQ=t，则可判
断四边形 APHQ 为菱形，所以 QH∥x 轴，接着证明△CQM∽△CAO，利用相似比可表示
出 QM=3﹣ t，CM=4﹣ t，则 MH= t﹣3，OM= t，所以 H 点的坐标可表示为（3﹣ t，
﹣ t），然后 H 点的坐标代入抛物线解析式得到 （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4=﹣ t，
于是解关于 t 的方程求出 t 可确定 H 点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的解析式为 y= （x+1）（x﹣3），即 y= x2﹣ x﹣4；
（2）如图①，当 x=0 时，y= x2﹣ x﹣4=﹣4，则 C（0，﹣4），
设直线 AC 的解析式为 y=kx+p，把 C（0，﹣4），A（3，0）代入得 ，解得 ，∴直线 AC 的解析式为 y= x﹣4，
∵D（m，0），DF⊥x 轴，∴F（m， m2﹣ m﹣4），E（m， m﹣4），
∴EF= m﹣4﹣（ m2﹣ m﹣4）=﹣ m2+4m，AE= = （3﹣m），
∵FG⊥AC，FD⊥OA，∴∠EGF=∠DDA，而∠GEF=∠AED，∴△EDA∽△EGF，
∴ = ，即 = ，整理得 2m2﹣9m+9=0，解得 m1=3（舍去），m2= ，
∴m 的值为 ；
（3）如图③，GH 交 y 轴于 M，∵OA=3，OC=4，∴AC=5，
∵△APQ 沿 PQ 所在的直线翻折，点 A 恰好落在抛物线上 H 点处，∴QA=QH，PA=PH，
∵AP=AQ=t，∴AQ=AP=PH=QH=t，∴四边形 APHQ 为菱形，∴QH∥x 轴，∴QM∥OA，
∴△CQM∽△CAO，∴ = = ，即 = = ，∴QM=3﹣ t，CM=4﹣ t，
∴MH=t﹣（3﹣ t）= t﹣3，OM=4﹣（4﹣ t）= t，
∴H 点的坐标为（3﹣ t，﹣ t），
∵H 点在抛物线上，∴ （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4=﹣ t，
整理得 64t2﹣145t=0，解得 t1=0（舍去），t2= ，∴H 点的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判
断与性质和相似三角形的判断与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比
表示线段之间的关系，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．
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