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姓名 准考证号
(在此卷上答题无效）
绝密★启用前
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考
理科数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={ 1},则 =
A. (1,3) B. (1,6) C. (2,3) D. (2,6)
2.已知复数z满足，则其共轭复数的虚部为
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.设向量，则下列结论中正确的是
A.a//b B.(a+b)丄b C.(a-b)丄b D.|a-b|=|b|
4.已知x，y满足约束条件,则的最小值为
A. B. 1 C. D.2
5.“”是“函数为奇函数”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.8 B.16 C.24 D.48
7.设 ,则
A. a0,将函数的图像向左平移个单位长度得到图像C1，将函数的图像向右平移个单位长度得到图像C2，若C1与C2重合，则
A. B. C. D.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为
A. B. C. D.
12.已知函数，若且，则的最小值为
A. B. C. D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若的展开式中的系数为-20,则a = .
14. 抛物线 (p>0)上纵坐标为4的点A到其焦点F的距离为5,则点A到原点的距离为 .
15.函数在区间上的值域为 .
16.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，，则△ABC的面积为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(―)必考题：共60分。
17.(12分）
已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且.
(1)是否存在常数，使得?请说明理由；
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和.
18. (12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD,且PA=2AB，F是AB的中点，点E在线段PC上，且PE丄.
（1）证明：平面丄平面ABCD;
（2）求二面角B-AE-D的余弦值.
19.(12分）
随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。
（1）若某送餐员一天送餐的总距离为80千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定1千米内为短距离，每份3元， 2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元。
(i)记X为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望；
(ii)若送餐员一天的0标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
20.(12分）
已知椭圆C: (a>b>0)的上顶点E与其左、右焦点F1、F2构成面积为1的直角三角形。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F2的直线交C于A（)，B()两点，P是C上的动点，当吋，求△PAB面积的最大值。
21.(12分）
设函数，曲线在点（0, )处的切线方程为：.
（1）求的值；
（2）若当时，,求的取值范围.
(二）选考题：共10分。请考生在第22、23
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
在直角坐标系中，曲线C1: ，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心极坐标为（3，)，半径为1的圆。
（1）求曲线C1的参数方程和C2的直角坐标方程；
（2）设M，N分别为曲线C1、C2上的动点，求|MN|的取值范围.
23.[选修4 一5 :不等式选讲](10分）
已知函数 .
（1）求不等式>0的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
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