成外高2016级高三上半期考试答案.docx

成都外国语学校高2016级高三上半期（答案）‎ 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解析】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.‎ ‎2．若集合A＝，B＝，则满足A∪X＝B的集合X的个数为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎【解析】集合X可以是，，，共4个，故选D.‎ ‎3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：‎ ‎ ‎ ‎2015年高考数据统计 2018年高考数据统计 则下列结论正确的是（ D ）‎ A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 ‎4.已知定义在上的偶函数的最小值为，则（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ A ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为( A )‎ A. B. C. D.‎ 第11 页，共 11 页 ‎6.A【解析】直线的斜率为，所以，又，所以，故选A.‎ ‎7、(理科)已知实数，满足，其中，则实数的最小值为（ B ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎（文科）设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的取值范围是( C )‎ A．[0,2] B．[0,4] C．[0，8] D．[8，＋∞)‎ ‎【解析】作出约束条件对应的可行域如图，z＝|x－3y|＝，其中表示可行域内的点(x，y)到直线x－3y＝0的距离，由图可知，点A(－2，2)到直线x－3y＝0的距离最大，最大为；又距离最小显然为0，所以z＝|x－3y|的取值范围为[0，8]，故选C.‎ ‎8.已知，点在线段上，且的最小值为1，则的最小值为(B )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是 A. B. C. D.‎ A【解析】在中，，，，由余弦定理，得，‎ 所以.所以所求概率为.故选A.‎ 第11 页，共 11 页 ‎10、在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角 ，则三棱锥的外接球的表面积为( A ) ‎ ‎ ‎ ‎11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为( ) D A． B． C．1 D．‎ ‎12．(文)已知, ,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由题意可知，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即，得。函数在区间(1,3)上存在零点，由=0，得 令， ，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减， , ，所以只需 即有零点。选B.‎ ‎12(理科)．已知函数的图像上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】时，；时，.设且，当或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为，即当时，函数 第11 页，共 11 页 在点处的切线方程为，即，两切线重合的充要条件是，且，消去得：，令，则，构造函数，，，，所以在单调递减，在单调递增，又所以，所以在单调递减，所以，即，故选C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.‎ ‎13.已知等比数列，是方程的两实根，则等于 4‎ ‎14．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 9‎ ‎15．若的内角满足,则的最大值为 ‎ ‎【详解】在中，因为，所以，即，‎ 所以角为钝角，且，又由，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立，即的最大值为，故选A.‎ ‎16. 如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为__________.‎ 第11 页，共 11 页 ‎【解析】当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点O的距离最大。‎ 此时平面ABOC⊥平面α，过D作DN⊥平面ABOC，垂足为N，‎ 则N为正三角形ABC的中心。设正四面体的边长为1,则，‎ ‎∵∠BCO=15°,∠BCP=30°,∴∠OCN=45°，∴N到平面α的距离.过D作DM⊥平面α,垂足为M,则，‎ ‎∴直线CD与平面α所成角的正弦值为.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.已知是各项都为正数的数列，其前n项和为，且,‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）设求的前n项和.‎ ‎17.解：（1）所以是首项为1，公差为1的等差数列，‎ 因为各项都为正数，所以所以 又所以（6分）（2）‎ 当n为奇数时，‎ 当n为偶数时，‎ 所以的前n项和（12分）‎ ‎18.（理科）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：‎ ‎ (1)指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎(2)若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；[来源:学科网]‎ ‎(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ 第11 页，共 11 页 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝‎ ‎（文）迈入2018年后，直播答题突然就火了.在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：‎ 男 女 认为直播答题模式可持续 ‎360‎ ‎280‎ 认为直播答题模式不可持续 ‎240‎ ‎120‎ ‎(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？‎ ‎(II)已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.‎ 参考公式： ．‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ 第11 页，共 11 页 ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18、解:（I）依题意，的观测值，‎ 故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系；……………6分 ‎（Ⅱ）由题意，参与答题游戏获得过奖励的人数共有人；‎ 其中男性被调查者获得过奖励的人数为人，‎ 故女性调查者获得过奖励人数为人，记女性被调查者参与游戏瓜分过奖励为事件，‎ 则.‎ 所以女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.275.……………………12分 ‎19、在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）（理科）设为棱上一点，，‎ ‎ 试确定的值使得二面角为．‎ ‎（II）（文科）为棱上的中点,求到面的距离.‎ ‎（I）证明∵平面，平面，平面， ∴，，‎ 在梯形中，过点作作于，在中，，‎ 又在中，，∴，①‎ ‎∵，，，平面，平面，‎ ‎∴平面，∵平面，∴，‎ 由①②，∵，平面，平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面；‎ ‎（II）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系(如图) ‎ 则，，，，令，，‎ 第11 页，共 11 页 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵平面，∴是平面的一个法向量，设平面的法向量为，‎ 则 ，即 即 ，不妨令，得，∵二面角为，∴，解得，‎ ‎ ∵在棱上，∴，故为所求．‎ ‎（II）由（1）可知平面且，‎ ‎=,由等积法 ‎20. 设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为(与不重合)，则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.‎ ‎20.解:（1）易知，，‎ 所以，，设，则，‎ 因为，故当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，即 ‎，解得 ，故所求的椭圆方程为 ‎（2）设，，则，由得 ‎，故，.经过点，‎ 第11 页，共 11 页 的直线方和为令，则，‎ 又因为，，∴当时，‎ ‎，‎ 这说明，直线与轴交于定点.‎ 注意：文科没有第3问 第11 页，共 11 页 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22． 在平面直角坐标系中，曲线，曲线，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（I）求曲线的极坐标方程；（II）射线分别交 于两点，求的最大值．22. ‎ 解：（1） 因为 ，，，所以 的极坐标方程为 ，因为 的普通方程为 ，‎ 即 ，对应极坐标方程为 ．……………………5分 ‎ （2）因为射线，则 ，‎ 则，所以 ‎ ＝又 ，，‎ 所以当 ，即 时， 取得最大值 ……10分 第11 页，共 11 页 ‎23． 已知函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．‎ ‎23、解：①当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴∅；‎ ‎②当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ ‎③当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ 综上所得，．‎ ‎∴原不等式的解集为．…………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，，‎ ‎∴，即．‎ 令，，则，，，，‎ ‎，‎ 原不等式得证．…………………（10分）‎ 第11 页，共 11 页