26．1 二次函数
知识点 1 二次函数的概念
1．若y＝(a－1)x2－2x＋6是关于x的二次函数，则a－1________，所以a的取值范围是________．
2．下列函数：y＝x－1，y＝3x2，y＝x2－4x＋1，y＝，y＝x(x－2)，y＝(x－1)2－x2中，是二次函数的有________个．
3．在学习了二次函数的概念后，老师要求同学们各举一个二次函数的例子．
小刚：y＝x2－2019是二次函数．
小红：y＝22＋2x是二次函数．
小敏：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为常数)是二次函数．
小虎：y＝1－3x＋x2是二次函数．
小华：y＝x2－x(x＋1)是二次函数．
小秀：y＝2x－1＋x2是二次函数．
(1)上面六名同学所举的例子正确吗？若不正确，错在哪里？
(2)举一个二次函数的例子应注意哪些问题？
4．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋3x是二次函数，求m的值．
知识点 2 确定二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值
5．二次函数y＝3x2＋x－4中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是________．
6．把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)y＝(1－x)(1＋x)；
(2)y＝4x2－12x(1＋x)；
(3)y＝x2＋(x－1)2；
(4)y＝(x＋1)(2x－3)＋5.
知识点 3 根据实际问题列二次函数关系式
7．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，已知该药品的原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝18(1－x2) B．y＝18(1＋x)2
C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)
8．菱形的两条对角线的长度之和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与其中一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．
9．根据下面的条件列出函数关系式，并判断列出的函数关系式是不是二次函数关系式．
(1)如果两个数中，其中一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
(2)在一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是正方形孔边长x(cm)的函数；
(3)有一块长为60 m、宽为40 m的矩形空地，计划在它四周相同的宽度内铺设草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数．
10．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )
①设正方形的边长为x，面积为y，y是x的函数；
②x个球队参加比赛，每两个队之间赛一场，则比赛的场次数y是x的函数；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，y是x的函数；
④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)是行驶时间x(h)的函数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a________时，是二次函数；当a________，b________时，是一次函数；当a________，b________，c________时，是正比例函数．
12．若函数y＝(m－6)xm2－9m＋20－mx＋5是关于x的二次函数，则m的值是________．
13．如图26－1－1，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m，面积为y m2.
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长度是多少？
图26－1－1
14．教材“问题2”变式某店销售一种小工艺品，该工艺品每件的进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品的售价提高x元，每周销售这种工艺品获得的利润为y元．
(1)填空：每件工艺品的售价提高x元后的利润为________元，每周可售出工艺品________件，y关于x的函数关系式为____________________(化为一般形式，并写出自变量的取值范围)；
(2)若y＝384，则每件工艺品的售价应定为多少元？
15．如图26－1－2所示，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为S.
(1)求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
(2)当x＝3时，求△PBE的面积．
图26－1－2
答案
1．≠0 a≠1
2．3 [解析] 二次函数的有y＝3x2，y＝x2－4x＋1，y＝x(x－2)，共3个．故答案为3.
3．解：(1)小刚、小虎所举的例子是正确的，其他人所举的例子都不正确．原因如下：小红举的例子是一次函数，因为式子中不含自变量x的二次项；小敏所举例子中没有说明二次项系数a≠0；小华所举例子经过整理得y＝－x，实际上是正比例函数；小秀所举例子中含x－1(也就是)，不是整式．
(2)(答案合理即可)应注意的问题：①等式的右边必须是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0.
4．解：由题意，得解得m＝－1，
∴当m＝－1时，函数y＝(m－1)xm2＋1＋3x是二次函数．
5．3，1，－4
6．解：(1)化为一般形式为y＝－x2＋1，
二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1.
(2)化为一般形式为y＝－8x2－12x，
二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.
(3)化为一般形式为y＝2x2－2x＋1，
二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为1.
(4)化为一般形式为y＝2x2－x＋2，
二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为2.
7．C [解析] 原价为18元，
第一次降价后的价格为18(1－x)元；
第二次降价是在第一次降价后的基础上降价的，为18×(1－x)×(1－x)＝18(1－x)2元，则y＝18(1－x)2.故选C.
8．S＝－x2＋13x 00，所以00，∴≤x
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