华东师大版九年级数学下册《26.2.3求二次函数的表达式》同步练习（含答案解析）.docx

‎26.2.3　求二次函数的表达式 ‎　　　　　　‎ 知识点 1　一般式——已知抛物线上三个一般点的坐标 ‎1．经过点(－3，1)，(1，1)和(0，－2)的抛物线所对应的函数表达式为(　　)‎ A．y＝x2＋2x－2 B．y＝x2－2x－2‎ C．y＝x2－2x＋2 D．y＝－x2－x＋ ‎2．已知二次函数y＝ax2＋bx，阅读下面的表格信息，由此可知y与x之间的函数关系式是________．‎ x ‎-1‎ ‎1‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎3.若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，则a＋b＋c的值为________．‎ ‎4．教材例7变式2018·普陀区一模已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)，B(1，0)，C(m，2m＋3)，D(－1，－2)四点，求这个函数的表达式以及点C的坐标．‎ 知识点 2　顶点式——已知抛物线的顶点坐标或对称轴 ‎5．抛物线y＝－x2＋bx＋c如图26－2－39所示，则此抛物线所对应的二次函数表达式为(　　)‎ 图26－2－39‎ A．y＝－x2＋4x＋20‎ B．y＝－x2－4x＋20‎ C．y＝－x2＋4x＋12‎ D．y＝－x2＋4x－12‎ ‎6．若当x＝1时，某二次函数有最大值5，且该二次函数的图象与y轴交于点(0，2)，则其表达式为__________________．‎ ‎7．已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且过点(1，－3)．‎ ‎(1)求这个二次函数的关系式；‎ ‎(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴．‎ 知识点 3　两点式——已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎8．抛物线y＝－x2＋bx＋c如图26－2－40所示，则b＋c的值等于(　　)‎ 图26－2－40‎ A．8　 　　　　　B．9‎ C．10　　　　　　D．11‎ ‎9．已知某二次函数的图象经过点A(1，0)，B(2，0)和C(3，4)，求该二次函数的表达式．‎ ‎　　　‎ ‎10．已知某二次函数的图象如图26－2－41所示，则这个二次函数的表达式为(　　)‎ 图26－2－41‎ A．y＝－3(x－1)2＋3‎ B．y＝3(x－1)2＋3‎ C．y＝－3(x＋1)2＋3‎ D．y＝3(x＋1)2＋3‎ ‎11．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数关系式为(　　)‎ A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1‎ C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝－(x＋2)2＋1‎ ‎12．2017·古冶区期中已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为(　　)‎ A．y＝x2＋2x B．y＝－x2＋2x C．y＝x2－2x D．y＝－x2－2x ‎13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为__________________________．‎ ‎14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎－ ‎－1‎ ‎－ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－ ‎－2‎ ‎－ ‎－2‎ ‎－ ‎0‎ ‎…‎ ‎　　则该二次函数的表达式为______________．‎ ‎15．如图26－2－42，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1，2)，△AOB的面积是2.‎ ‎(1)求点B的坐标；‎ ‎(2)求过点A，O，B的抛物线所对应的函数表达式．‎ 图26－2－42‎ ‎16．2018·杭州已知二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．‎ ‎(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，并说明理由；‎ ‎(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求 该二次函数的表达式；‎ ‎(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.‎ ‎　　　　　　　‎ ‎17．如图26－2－43，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－，0)，B(0，－3)两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D.‎ ‎(1)求此抛物线所对应的函数表达式；‎ ‎(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎(3)连结BC，求证：BC＝DC.‎ 图26－2－43‎ 详解详析 ‎1．A ‎2．y＝x2＋x　[解析] 把x＝－1，y＝0和x＝1，y＝2代入y＝ax2＋bx，得解得a＝1，b＝1，‎ 所以y与x之间的函数关系式为y＝x2＋x.‎ ‎3．0　[解析] 由题意得c＝5，所以抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋5，把点(－1，12)和(2，－3)的坐标分别代入得 解得所以a＋b＋c＝1－6＋5＝0.‎ ‎4．解：设这个函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，‎ 把A(0，－3)，B(1，0)，D(－1，－2)的坐标代入，得 解得 ‎∴这个函数的表达式为y＝2x2＋x－3.‎ ‎∵点C(m，2m＋3)在抛物线上，∴2m2＋m－3＝2m＋3，解得m1＝－，m2＝2.‎ 当m＝－时，2m＋3＝0；当m＝2时，2m＋3＝7，‎ ‎∴点C的坐标为或(2，7)．‎ ‎5．C　[解析] 由解得故所求的函数表达式为y＝－x2＋4x＋12.故选C.‎ ‎6．y＝－3x2＋6x＋2　[解析] 由题意设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋5，又∵该二次函数的图象与y轴交于点(0，2)，将(0，2)代入函数表达式得2＝a＋5，∴a＝－3，∴所求的二次函数的表达式为y＝－3(x－1)2＋5，即y＝－3x2＋6x＋2.‎ ‎7．解：(1)设函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，把顶点(－1，2)和点(1，－3)的坐标代入关系式，得a＝－，h＝－1，k＝2，所以这个二次函数的关系式为y＝－(x＋1)2＋2.‎ ‎(2)由(1)的函数关系式可得：抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.‎ ‎8．B　[解析] 由图象可知，抛物线与x轴交于点(－1，0)和(5，0)，所以 解得则b＋c＝9.‎ ‎9．解：因为A，B两点是二次函数的图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x－1)(x－2)，将点C(3，4)的坐标代入，得(3－1)(3－2)a＝4，解得a＝2，所以该二次函数的表达式为y＝2(x－1)(x－2)＝2x2－6x＋4.‎ ‎10．A　[解析] 由图象知，抛物线的顶点坐标是(1，3)，所以可设抛物线的表达式为y＝‎ a(x－1)2＋3.因为抛物线经过点(0，0)，所以a＝－3，即y＝－3(x－1)2＋3.故选A.‎ ‎11．C　[解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y＝a(x－h)2＋k，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，所以a＝，所以该抛物线的函数关系式是y＝(x＋2)2＋1.‎ ‎12．A　[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标是(－3，－3)，‎ ‎∴解得，∴该抛物线的表达式为y＝x2＋2x.故选A.‎ ‎13．y＝x2＋2x或y＝－x2＋x ‎[解析] ∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，‎ ‎∴这个交点的坐标为(－4，0)或(4，0)．‎ ‎①当这个交点的坐标为(－4，0)时，‎ 解得 ‎∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x；‎ ‎②当这个交点的坐标为(4，0)时，‎ 解得 ‎∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x.‎ 故这个二次函数的表达式为y＝x2＋2x或y＝－x2＋x.‎ ‎14．y＝x2＋x－2‎ ‎[解析] 由表格可知该二次函数的图象的顶点坐标为，所以可设其表达式为y＝a2－，再任选一组x，y的值代入，求出字母a的值即可，如把代入，得－＝a－，解得a＝1，所以该二次函数的表达式为y＝－，即y＝x2＋x－2；或设其表达式为y＝ax2＋bx＋c，再选取三组x，y的值代入，也可以求得结果为y＝x2＋x－2.‎ ‎15．解：(1)由题意得×2OB＝2，∴OB＝2，‎ ‎∴点B的坐标为(－2，0)．‎ ‎(2)设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax，将(1，2)代入，得a×1×(1＋2)＝2，解得a＝，故抛物线所对应的函数表达式为y＝x(x＋2)，即y＝x2＋x.‎ ‎16．解：(1)∵b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，‎ ‎∴二次函数图象与x轴的交点的个数为两个或一个．‎ ‎(2)当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0≠1，‎ ‎∴二次函数图象不经过点C.‎ 把点A(－1，4)，B(0，－1)的坐标分别代入，得 解得 ‎∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.‎ ‎(3)证明：当x＝2时，‎ m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0.①‎ ‎∵a＋b＜0，‎ ‎∴－a－b＞0.②‎ ‎①②相加，得2a＞0，∴a＞0.‎ ‎17．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－，0)，B(0，－3)两点，‎ ‎∴解得 ‎∴此抛物线所对应的函数表达式为y＝x2－x－3.‎ ‎(2)由(1)可得此抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，－4)．‎ ‎(3)证明：设过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y＝kx＋b，将A，B两点的坐标分别代入，得解得故直线AB所对应的函数表达式为y＝－x－3，∴当x＝时，y＝－6，∴点D的纵坐标为－6，∴DC＝－＝2.‎ 过点B作BE⊥l于点E，则BE＝，CE＝4－3＝1.由勾股定理得BC＝＝2，‎ ‎∴BC＝DC.‎