26．1 反比例函数
26．1.1 反比例函数
关键问答
①这个实际问题中的相等关系是什么？
②反比例函数的一般形式是什么？
③用待定系数法确定反比例函数的解析式，需要的条件是什么？
1．①某工厂现有原材料100吨，平均每天用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝100x B．y＝ C．y＝＋100 D．y＝100－x
2．②下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－1 D．y＝
3．③已知反比例函数y＝，当x＝2时，y＝－3，则k＝________．
命题点 1 用函数解析式表示实际问题中变量间的对应关系 [热度：95%]
4．④已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车的行驶时间t(单位：时)关于行驶速度v(单位：千米/时)的函数解析式是( )
A．t＝20v B．t＝ C．t＝ D．t＝
方法点拨
④利用“时间＝”来构建函数解析式．
5．⑤在“2016年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n株，总种植面积为S平方米，则n关于S的函数解析式为________．
6
易错警示
⑤求n关于S的函数解析式，即用含S的代数式表示n.
6．⑥把一个长、宽、高分别为3 cm，2 cm，1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数解析式为________．
解题突破
⑥(1)长方体和圆柱体的体积公式分别是什么？
(2)铸造前后铜块的体积是否发生变化？
7．小明家离学校1.5 km，小明步行上学需x min，那么小明步行的平均速度y(m/min)可以表示为y＝；水平地面上重1500 N的物体，与地面的接触面积为x m2，那么该物体对地面的压强y(N/m2)可以表示为y＝；…，函数解析式y＝还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举一例：________________________________________________________________________
________________________________________．
命题点 2 识别反比例函数 [热度：98%]
8.⑦计划修建铁路l千米，铺轨天数为t(天)，每日铺轨量为s(千米)，则在下列三个结论中，正确的是( )
①当l一定时，t是s的反比例函数；
②当t一定时，l是s的反比例函数；
③当s一定时，l是t的反比例函数．
A．① B．② C．③ D．①②③
模型建立
⑦识别反比例函数的方法：(1)看解析式是否满足y＝(k为常数，k≠0)的形式；(2)看两个变量的积是否确定.
9．设某矩形的面积为S，相邻的两条边长分别为x和y.那么当S一定时，给出以下四个结论：①x是y的正比例函数；②y是x的正比例函数；③x是y的反比例函数；④y是x的反比例函数．其中正确的为( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10.⑧若y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，则y是z的________函数．
解题突破
⑧借助x这一中间量找到y与z的函数关系.
11．下列函数：①y＝2x－1；②y＝－；③y＝x2＋8x－2；④y＝；⑤y＝.其中y是x的反比例函数的有________．(填序号)
命题点 3 确定函数解析式及其应用 [热度：92%]
12.⑨根据下表中反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为( )
x
－2
1
y
3
p
A．3 B．1 C．－2 D．－6
方法点拨
⑨反比例函数y＝中的每对x，y的对应值的积都相等，都等于反比例函数的比例系数k
6
.
13．⑩将x＝代入反比例函数y＝－，所得函数值记为y1，又将x＝y1＋1代入原反比例函数，所得函数值记为y2，再将x＝y2＋1代入原反比例函数，所得函数值记为y3，…，如此继续下去，则y2019的值为( )
解题突破
⑩分别计算出y1，y2，y3，y4，…的值，你能发现函数值有什么规律吗？
14．已知y与成反比例，当y＝1时，x＝4，则当x＝2时，y＝________．
15．⑪已知y－2与x成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y与x之间的函数解析式．
方法点拨
⑪先利用待定系数法求出y－2与x之间的函数解析式，进而写出y与x之间的函数解析式．
16．⑫已知y＝y1＋y2，其中y1与x成反比例，y2与x－2成正比例．当x＝1时，y＝－1；当x＝3时，y＝3.
求：(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝－1时，y的值．
易错警示
⑫同一函数解析式中，两个不同的比例系数要用不同的字母表示．A.－ B．2 C．－ D．－
命题点 4 利用反比例函数的定义求未知字母的值 [热度：92%]
17．若函数y＝kxk2－3是反比例函数，则k的值是( )
A．－1 B．2 C．±2 D．±
18.⑬若y＝(m－1)x|m|－2是反比例函数，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．0
易错警示
⑬不要忽视反比例函数解析式中比例系数k≠0这一隐含条件．
19．⑭已知函数y＝(m－1)xm2＋2m－4是反比例函数，则m的值为________．
模型建立
6
⑭对于形如y＝axb的函数，若它是反比例函数，则需满足a≠0，b＝－1；反之，若a≠0，b＝－1，则它是反比例函数.
20．已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数．
(1)求m的值；
(2)当函数值为4时，求对应的自变量的值．
21.⑮已知函数y＝(m2＋2m)xm2＋m－1.
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？
(2)当m为何值时，y是x的二次函数？
(3)当m为何值时，y是x的反比例函数？
解题突破
⑮若函数为正比例函数，则自变量的指数是多少？对自变量的系数有没有限制？若函数为二次函数呢？若函数为反比例函数呢？
6
详解详析
1．B [解析] 由“平均每天用去的吨数×能用的天数＝100吨”可得y＝.
2．B [解析] 形如y＝(k≠0)的函数是反比例函数，只有选项B符合．
3．－6 [解析] 由题意，得－3＝，解得k＝－6.
4．B [解析] 依据“时间＝”可得t＝.
5．n＝ [解析] 根据“每平方米种植的数量×总种植面积＝3×106株”可得答案．
6．S＝ [解析] 长方体铜块的体积为3×2×1＝6(cm3)，则铸成的圆柱体铜块的体积为6 cm3，所以Sh＝6，所以S＝.
7．体积为1500 cm3的圆柱的底面积为x cm2，那么该圆柱的高y (cm)可以表示为y＝(答案不唯一，其他例子正确均可)
8．A [解析] 依题意，得l＝ts，所以当l一定时，t是s的反比例函数．
9．C [解析] 由题意得S＝xy，所以x＝，y＝，所以当S一定时，x是y的反比例函数，y是x的反比例函数．
10．反比例 [解析] 由题意可设y＝(k1是常数，k1≠0)，x＝k2z(k2是常数，k2≠0)，所以有y＝，所以y是z的反比例函数．
11．②⑤ [解析] 符合y＝(k≠0)的形式的只有y＝－和y＝.
12．D [解析] 设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)，则有k＝2×(－3)＝1×p，解之得p＝－6.
13．C [解析] 由题意得y1＝－，y2＝2，y3＝－，y4＝－，…，能看出函数值每三次一循环．因为2019÷3＝673，所以y2019＝y3＝－.
14. [解析] 设y＝(k≠0)．因为当y＝1时，x＝4，所以k＝2，所以当x＝2时，y＝＝.
15．解：设y－2＝(k≠0)，因为当x＝2时，y＝4，所以4－2＝，解得k＝4，所以y－2
6
＝，所以y＝2＋.
16．解：(1)设y1＝(k1≠0)，y2＝k2(x－2)(k2≠0)，所以y＝＋k2(x－2)．
因为当x＝1时，y＝－1；当x＝3时，y＝3，
所以解得
所以y＝＋(x－2)．
(2)当x＝－1时，y＝＋×(－1－2)＝－9.
17．D [解析] 由题意可得k2－3＝－1，解得k＝±.
18．B [解析] 由题意可得|m|－2＝－1，解得m＝±1.因为m－1≠0，所以m≠1，所以m＝－1.
19．－3 [解析] 由题意得m2＋2m－4＝－1，且m－1≠0，解得m＝－3.
20．解：(1)当2m2＋3m－3＝－1，且2m2＋m－1≠0时，函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数．由2m2＋3m－3＝－1，可解得m1＝－2，m2＝，而当m2＝时，2m2＋m－1＝0，所以当函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数时，m的值为－2.
(2)当m的值为－2时，反比例函数为y＝，
当函数值为4时，4＝，所以x＝.
21.解：(1)根据题意，得解得m＝1，
即当m＝1时，y是x的正比例函数．
(2)根据题意，得解得m1＝，m2＝，
即当m＝或m＝时，y是x的二次函数．
(3)根据题意，得解得m＝－1，
即当m＝－1时，y是x的反比例函数．
【关键问答】
①平均每天用去的吨数×天数＝总吨数．
②y＝(k为常数，k≠0)．
③需要自变量和函数的一对对应值．
6
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