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“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页1 “长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考 2018－2019 学年第一学期半期考高三数学（理）试题答案 1---12 BABDA CCBBA CD 13. 14.-8 15. 16. 17.解析：（Ⅰ） 则 ， . ……6 分 （Ⅱ）函数 的图象右平移 个单位得到函数 的图 象， 再 将 所 得 图 象 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数 . 当 时， ， . 故函数 g（x）在 上的值域为 . ……12 分 另解：由 可得 ，令 ， 则 ，而 ，得 ，“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页2 ， 故 ，即函数 在 上的值域为 . 18.解析：⑴ ∴ 在 上恒成立， 在 单调递增， ∴ ∴ 的取值范围为 。 ……6 分 (2) （ ）， （ ）。 当 时， ， 在 单调递增，无最小值，不合题意。 ∴ 。 令 ，得 （舍去负值）。 时， ； 时， 。 ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增。 ∴ 是函数的极小值点,也是最小值点. ∴ ，解得 ……12 分“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页3 19.解法一：（Ⅰ）由已知得 , 因为 ，所以 ，所以 ， 由 ，得 . ……6 分 （Ⅱ）由 ， 得， ， 在 中， ， 由正弦定理 得， ， 所以 ． ……12 分 解法二：（Ⅰ）由已知得 ， 化简得 ， ， 由 ，得 . ……6 分 （Ⅱ）同解法一.“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页4 20. 解析（Ⅰ）设 为 的中点，连接 ， 则 ∵ ， ， ， ∴四边形 为正方形， ∵ 为 的中点， ∴ 为 的交点， ∴ 为 的中点，∵ 为 中点， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． ……4 分 （Ⅱ）∵ ， 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， 在 中， ，∴ ，………6 分 又∵ ，∴ 平面 ； ……7 分 又因为 ，所以过 分别作 的平行线，分别以它们作为 轴，以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.，则 B(1,-1,0),C(1,1,0),D(-3,1,o), . 假设线段 上存在一点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 . 设 （ ），则 ， 即 .“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页5 设平面 PCD 的一个法向量为 ，则 ，即 取 z=1 得,平面 PCD 的一个法向量为 . 设直线 与平面 所成角为 ，令 ，得 ， 化简并整理得 ，解得 （舍去），或 . 所以，当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .……12 分 21.解：（Ⅰ） 由已知得 ， 解得 ……4 分 （Ⅱ）法一： , ， ， 时， ； 时， 。 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 在 上单调递增， 又 过点 ，且 在 处的切线方程为 ， 故可猜测：当 时， 的图象恒在切线 的上方． 下面先证：当 时， ，“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页6 设 ， ，则 , ， 时， ； 时， 。 在 上单调递减，在 上单调递增。 又 ， ， ， ， 存在 ，使得 ， 当 时， ；当 时， ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ，当且仅当 时取等号， 故当 时， ． 下面又证： ·····（注：此处直接用不等式 ，不扣分。） 又 ， ，当且仅当 时，等号成立； ，当且仅当 时，等号成立； 当 时， ． ……12 分 法二： 令 ， 则 . 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递 增.“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页7 当 时， 。 当 时， 。 当 时， 。 22.解：由 得 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2＋y2－4x＝0. 由 5 得 x＋2y＝3，所以直线 l 的普通方程为 x＋2y－3＝0.……5 分 (2) 由题设，点 P 的极坐标为 ，其直角坐标为(2，2)． 设点 ，则 PQ 的中点 M 的坐标为 . 则点 M 到直线 l 的距离为 当且仅当 时取等号 所以点 M 到直线 l 的距离的最大值为 .……10 分 23.解析：（Ⅰ） ， 当 时，由 ，解得 ； 当 时， 不成立； 当 时，由 ，解得 ． 所以不等式 的解集为 ． ……5 分“六校联考”半期考高三数学（理）参考答案第 页共 8 页8 （Ⅱ） ，即 ． 因为 ， ， 所以 ， 所以 ．故所证不等式成立． ……10 分