理科数学试题.pdf

试卷第 1 页，总 4 页 衡阳市第八中学 2019 届高三第三次月考 理科数学 全卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 命 题：刘 喜 审 题：钟小霖 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的 4 个选项中只有 1 项是符合题目 要求的） 1．下列集合中，是集合 3| 2 log 9xx  的真子集的是（ ） A． {푥|푥 > 2} B． {푥|푥 ≤ 2} C． {푥|푥 ≤ 0} D． {0,1,2,3} 2．在复平面内，复数  2ii对应的点位于（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．已知平面 ，直线 ,mn满足 ,,mn则“ //mn”是“ //m  ”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C． 必要不充分条件 D．充分不必要条件 4.设  1 1 22 0 32 , 1 , 2ln 2,4a b x dx c     则（ ） . . . .Aa b c Bb a c C c a b D c b a        5．已知数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，满足푆푛 = 2푎푛 − 1，则{푎푛}的通项公式푎푛 =（ ） A．2푛 + 1 B．2푛 − 1 C． 2푛−1 D．2푛 − 1 6．已知向量퐴퐵⃑⃑⃑⃑⃑ = (2,1)，点퐶(−1,0)，퐷(3,2)，则向量퐴퐵⃑⃑⃑⃑⃑ 在퐶퐷⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影为（ ） A． 5 B． −2√5 C． 5 D． 2√5 7．若直线푙过点퐴(0, 푎)，斜率为 1，圆 푥2 + 푦2 = 9上恰有 3 个点到푙的距离为 1，则 푎的值为（ ） A．±3 B． ±3√2 C． ±2 D． ±2√2 8．已知命题푝: ∃푥 ∈ 푅, 푥 − 2 > lg푥，命题푞: ∀푥 ∈ 푅, 푥2 > 0,则（ ） A． 命题푝 ∨ 푞是真命题 B． 命题푝 ∧ 푞是真命题 C． 命题푝 ∧ (¬푞)是假命题 D． 命题푝 ∨ (¬푞)是假命题 试卷第 2 页，总 4 页 9.设 0, 0,将函数   sinf x x 的图像向左平移  个单位长度得到图像 1C ，将函数   cos 6g x x  的图像向右平移  个单位长度得到图像 2C ，若 与 重合，则  cos  （ ） 3 3 1 1. . . .2 2 2 2A B C D 10.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的 体积最小值为（ ） 1. .2 . .142A B C D 11.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是棱 1CC 的中点，F 是侧面 11BCC B 内的动点，且 1 //AF 平 面 1D AE ,则 1AF与平面 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）     2 5 2 5. | 2 3 . | 255 . | 2 2 2 . | 2 2 3 A t t B t t C t t D t t                        12 ． 在数列 na 中，   * 110, 5 2 2 , 2 ,nna a a n n N n       若数列 nb 满足 1 81,11 n nnb n a   则数列 的最大项为（ ） A． 第 5 项 B．第 6 项 C． 第 7 项 D．第 8 项 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知实数푥、푦满足{ 푥 ≥ 1 푥 − 푦 + 1 ≤ 0 푥 + 푦 ≤ 푚 ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则푚的 取值范围为__________． 14．已知两个单位向量 12,ee，且 12| | 1ee，则 12||ee =__________. 15．已知圆 224xy.过点 31, 2C   且被圆截得的弦长为3 直线l 的方程 . 16.对于函数  ,y f x 若存在 0x ，使    000,f x f x   则称点   00,x f x 是曲线  fx的“优 美点”.已知   2 2 , 0, 3, 0, x x xfx kx x     若曲线  fx存在“优美点”，则实数k 的取值范围为_______ 试卷第 3 页，总 4 页 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题:共 60 分 17．（ 12 分）在훥퐴퐵퐶中，푎, 푏, 푐分别是内角퐴, 퐵, 퐶所对的边，且满足 cos 2 0cos B a b Cc . （1）求角퐶的值； （2）若푏 = 2，퐴퐵边上的中线퐶퐷 = √3，求훥퐴퐵퐶的面积． 18．（12 分）已知函数   324 5 4f x x x x    . （1）求曲线  fx在点   2, 2f 处的切线方程； （2）若    g x f x k，求  gx的零点个数. 19. （12 分）等边 ABC 的边长为 3，点 ,DE分别为 ,AB AC 上的点，且满足 2AE BD EC DA(如 图①)，将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置，使二面角 1A DE B成直二面角，连接 11,A B AC (如图②) （1）求证： 1AD 平面 BCED ； （2）在线段 BC 上是否存在点 P （不包括端点）, 使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为60？若存在，求出 1AP的长；若不存在，请说明理由. 20．（12 分）在平面直角坐标系푥푂푦中，点퐴(0, −3)，点 M 满足| | 2| |MA MO （1）求点 M 的轨迹方程； （2）若圆퐶: (푥 − 푐)2 + (푦 − 푐 + 1)2 = 1，判断圆C 上是否存在符合题意的 ; （3）设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 是点 轨迹上的两个动点，点 P 关于点 0,1 的对称点为 1P ，点 P 关 于直线 1y  的对称点为 2P ，如果直线 12,QP QP 与 y 轴分别交于 0,a 和 0,b ，问    11ab   是 否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 试卷第 4 页，总 4 页 21．（12 分）已知函数푓(푥) = 푎+ln푥 푥 ，푔(푥) = 푚푥. （1）求函数푓(푥)的单调区间； （2）当푎 = 0时，푓(푥) ≤ 푔(푥)恒成立，求实数푚的取值范围； （3）当푎 = 1时，求证：当푥 > 1时，(푥 + 1) (푥 + 1 푒푥) 푓(푥) > 2 (1 + 1 푒). （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．[选修 4-4:坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 2 1 : 1,4 yCx以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 2C 是圆心极坐标为 3, ，半径为 1 的圆. （1）求曲线 1C 的参数方程和 的直角坐标方程； （2）设 ,MN分别为曲线 ， 上的动点，求||MN 的取值范围 23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数   | 2 1| | 2 |f x x x    . （1）求不等式   0fx 的解集； （2）若关于 x 的不等式  | 2 1| 3 3| 5|m f x x     有解，求实数m 的取值范围.