湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第三次月考试题数学（文）Word版含答案.docx

衡阳市八中2019届高三第三次月考试题 文科数学 命题人：吕建设 审题人：彭源 请注意：时量120分钟 满分：150分 一． 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于 A． 第一象限B． 第二象限C． 第三象限D． 第四象限 ‎3.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的渐近线方程为 A． B．C． D． ‎ ‎4.设 A、2 B、1 C、-2 D、-1‎ ‎5.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A．钱 B．钱 C.钱 D．钱 ‎6.在三棱锥中，⊥底面，，,‎ 则与面 A． ‎ B． C． D．‎ ‎7.已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．求 目标函数的最大值为 A． B． C． D． ‎8.已知直线和圆相交于两点，若,则的值为 A.B. C.D.‎ ‎9.如右图，正方形中，为DC的中点，若，则的值为 A．B． C． D．‎ ‎10.设等差数列的前项和为，已知，若，则 A． ‎6‎ B． ‎7‎ C． ‎13‎ D． ‎‎14‎ ‎11.如右图,分别是函数的图象与两条直线的两个交点,记,则的图象大致是 A B C D ‎12.如图已知双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上的一点，直线与y轴交于点的内切圆在边上的切点为Q，若，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3 ‎ 二、 填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)‎ 13、 已知，若，则 14、 在锐角中，角所对的边长分别为，若，则 ‎15.已知棱长为的正方体有一个内切球（如图），为面底的中心，与球相交于，则的长为_______.‎ ‎16.定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：_______.‎ ‎①对，有；‎ ‎②函数的值域为；‎ ‎③存在，使得；‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题12分）‎ 已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设数列满足，求数列的前项和 ‎18.(本小题12分）‎ 已知函数的最大值为3．‎ ‎（1）求的单调增区间和的值；‎ ‎（2）把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在 上的值域．‎ ‎19.(本小题12分）如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接，形成如右图所示的多面体，且折叠后的与的长为 ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）求三棱锥的体积;‎ ‎20.(本小题12分）‎ 设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（2）设坐标原点为为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有,当线段的中点在轴上时，求直线的方程．‎ ‎21.(本小题12分）‎ 已知函数（其中）．‎ ‎（1）若为的极值点,求的值；‎ ‎（2）在的条件下,解不等式 ‎22.(本小题10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，证明：.‎ 衡阳市八中2019届高三第三次月考试题 文科数学 命题人：吕建设 审题人：彭源 请注意：时量150分钟 满分：150分 一． 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1已知集合，，则集合中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于 A． 第一象限B． 第二象限C． 第三象限D． 第四象限 ‎3. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的渐近线方程为 A． B．C． D． ‎ ‎4. 设 A、2 B、1 C、-2 D、-1‎ ‎5.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A．钱 B．钱 C.钱 D．钱 ‎6.在三棱锥中，⊥底面，，,‎ 则与面 A． ‎ B． C． D．‎ ‎7.已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．求目标函数的最大值为 A． B． C． D． ‎8.已知直线和圆相交于两点，若,则的值为 A.B. C.D.‎ ‎9.如右图，正方形中，为DC的中点，若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10.设等差数列‎{an}‎的前项和为，已知，若，则 A． ‎6‎ B． ‎7‎ C． ‎13‎ D． ‎‎14‎ ‎11.如右图, 分别是函数的图象与两条直线的两个交点,记,则的图象大致是 A B C D ‎12.如图已知双曲线的左右焦点分别为 是双曲线右支上的一点，直线与y轴交于点的内切圆在边上的切点为Q，若，则该双曲线的离心率为 A． ‎ B． C．2 D．3 ‎ 选择题答案：CDABB BACAB CC 填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)‎ 13、 已知，若，则‎√5‎ 14、 在锐角中，角所对的边长分别为，若，则‎60‎‎°‎ ‎15.已知棱长为的正方体有一个内切球（如图），为面底的中心，与球相交于，则的长为__‎√6‎‎3‎_____.‎ ‎16.定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：①__②____.‎ ‎①对，有；‎ ‎②函数的值域为；‎ ‎③存在，使得；‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设数列满足，求数列的前项和 解析：(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，‎ 即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.‎ 又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.‎ ‎(2)由(1)得bn＝n＋2n， ‎ ‎∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)‎ ‎＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.‎ ‎18.已知函数的最大值为3．‎ ‎（1）求的单调增区间和的值；‎ ‎（2）把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知 ‎，令，‎ 得： ，‎ 函数的单调递增区间为,‎ 由函数的最大值为3，得，；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，即在上的值域为.‎ ‎19.如图，将边长为‎2‎的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且折叠后的AC=‎‎6‎.‎ ‎（1）证明：平面 ‎（2）求三棱锥E-ABC的体积 试题解析：（１）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点 为m，易知AC⊥BE，且AM=CM=‎‎3‎，‎ 在多面体中，由AC=‎‎6‎，知AM‎2‎+CM‎2‎=AC‎2‎，‎ 故AM⊥MC,‎2分 又GC∩BE=G,GC,BE⊂‎平面BCDE，故AM⊥‎平面BCDE， ..5分 ‎（2）连接AE、CE,则AG为三棱锥A-BCE的高，GC为ΔBCE 的高．在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4‎，‎ 故SΔBCE‎=‎1‎‎2‎×4×‎3‎=2‎‎3‎， ..9分 所以VE-ABC‎=VA-BCE=‎1‎‎3‎×2‎3‎×‎3‎=2‎． 12分 ‎20.设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（2）设坐标原点为为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有,当线段的中点在轴上时，求直线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由e=‎‎2‎‎2‎得a=‎2‎c，又有b=‎‎10‎，代入a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，解得a=2‎‎5‎ 所以椭圆方程为y‎2‎‎20‎‎+x‎2‎‎10‎=1‎ 由抛物线的焦点为‎0,1‎得，抛物线焦点在的参数y轴，且p‎2‎‎=1‎，‎ 抛物线的方程为：‎x‎2‎‎=4y ‎(2)由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于‎0‎ 设直线OA方程为：y=kx，‎k>0‎ 联立方程y=kxx‎2‎‎=4y得：x‎2‎‎=4kx，可知点A的横坐标xA‎=4k，即A‎4k,4‎k‎2‎ 因为OA⊥OB，可设直线OB方程为：‎y=-‎1‎kx 连立方程y=-‎1‎kxy‎2‎‎20‎‎+x‎2‎‎10‎=1‎得：x‎2‎‎=‎‎20‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，从而得x=±‎‎20‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎ 若线段AB的中点在y轴上，可知xB‎=-‎‎20‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，即B‎-‎20‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎,‎‎20‎‎1+2‎k‎2‎ 有‎4k=‎‎20‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎，且k>0‎，解得k=‎‎2‎‎4‎ 从而得A‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎，‎B‎-‎2‎,4‎ 直线AB的方程：‎‎7‎2‎x+8y-18=0‎ ‎21.已知函数（其中）．‎ ‎（1）若为的极值点,求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下,解不等式 试题解析：因为，‎ 所以， 1分 因为为的极值点,所以由,解得 检验,当时, ,当时, ,当时, .‎ 所以为的极值点,故． 2分 当时,‎ 不等式,‎ 整理得,‎ 即或， 6分 令， ,，‎ 当时, ；当时, ，‎ 所以在单调递减，在单调递增，所以，‎ 即,所以在上单调递增,而；‎ 故； ，‎ 所以原不等式的解集为． 10分 ‎22.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，证明：.‎ 试题解析：（1）依题意，得 于是得或或 解得.‎ 即不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴.‎ 原不等式等价于.‎ ‎∵，∴，.∴.‎ ‎∴.‎