山西大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）Word版含答案.doc

山西大学附中 ‎2018-2019学年高二第一学期期中考试 数学试题（理科）‎ 考查时间：90分钟 满分：100分 ‎ 一. 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.直线的倾斜角大小（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知正的边长为，那么用斜二测画法得到的的直观图的面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是（　　）‎ A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 ‎4. 方程所表示的直线（　　）‎ A. 恒过定点 B. 恒过定点 C. 恒过点和 D. 都是平行直线 ‎5．在空间直角坐标系中,已知点,,点在轴上,若,则点的坐标为（　　）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位),可得这个几何体的体积是(　 　)‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,在正三棱柱中,,、分别是和的中点,则直线与所成角的余弦值等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.如图,在正方体中,棱长为, 、分别为与的中点, 到平面的距离为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎9.过正方形的顶点,引平面.若,则平面和平面所成的二面角的大小是（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.在三棱锥中, 平面, , ,分别是,的中点, ,且.设与所成角为, 与平面所成角为,二面角为,则（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.如图1,直线将矩形纸分为两个直角梯形和,将梯形沿边翻折,如图2,在翻折的过程中（平面和平面不重合）,下面说法正确的是（　　）‎ ‎ 图1 图2‎ A. 存在某一位置,使得平面 B. 存在某一位置,使得平面 C. 在翻折的过程中,平面恒成立 D. 在翻折的过程中,平面恒成立 ‎12.在三棱锥中,平面,,,,是边上的一动点,且直线与平面所成角的最大值为,则三棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A. B. C. D.‎ 二． 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.）‎ ‎13.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的体积是________．‎ ‎14.已知直线经过点且与以, 为端点的线段有公共点,则直线的倾斜角的取值范围为________.‎ ‎15.在棱长为的正方体中，的中点是，过作与截面平行的截面，则该截面的面积为________.‎ ‎16.已知四棱锥的底面是矩形,底面,点、分别是棱、的中点,则 ‎①棱与所在直线垂直;‎ ‎②平面与平面垂直;‎ ‎③的面积大于的面积;‎ ‎④直线与平面是异面直线.‎ 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)‎ 三.解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.直线过点和第一、二、四象限,若直线的横截距与纵截距之和为,求直线的方程.‎ 18. 如图,三棱锥中,两两垂直,分别是的中点. （1）证明：平面面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面是菱形,,侧面是正三角形,平面平面,,为的中点.‎ ‎(1)求证 平面.‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中,,平面平面.‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）若为中点,求证:平面;‎ ‎（3）在线段上（含端点）是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求得值,若不存在,说明理由.‎ ‎​‎ 山西大学附中 ‎2018-2019学年高二第一学期期中考试 数学参考答案（理科）‎ 考查时间：90分钟 满分：100分 ‎ 一. 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ BDCAA CDDBA CB 二． 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.）‎ ‎13． 14. 15. 16. ①③‎ 三.解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题10分）‎ 解：设直线的横截距为，由题意可得纵截距为.‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎∵点在直线上，∴，，解得或．‎ 当时，直线的方程为，直线经过第一、二、四象限．‎ 当时，直线的方程为，直线经过第一、二、四象限．‎ 综上所述，所求直线方程为和． ------10分 ‎18.（本小题12分） （1）证明：∵分别是的中点, ∴,又平面,平面 ∴平面, 同理可得：平面, 又平面,平面,, ∴平面平面. ------5分 （2）以为坐标原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则, ∴, 设平面的法向量,则, ∴,令可得. ∴. 设与面所成角为,则. ‎ ‎∴与面所成角的正弦值为. ------12分 ‎19.（本小题12分）‎ 解：(1)取中点,连接,∵侧面是正三角形,平面平面,‎ ‎∴底面,因为底面为菱形,且,,‎ ‎∴,,以为原点,‎ 分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴平面. ------5分 ‎(2),设平面的一个法向量,‎ 则,‎ 取 ,得,‎ 由(1)知平面的法向量为,‎ ‎∴,‎ 由图象得二面角是钝角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎ ------12分 ‎20.（本小题14分）‎ ‎（1）证明：在直三棱柱中,‎ ‎∵平面 ∴ ‎ ‎∵平面平面,且平面平面 ‎∴平面 ‎ ‎∴ ------4分 ‎（2）在直三棱柱中,‎ ‎∵平面,∴,‎ 又,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,‎ ‎,‎ ‎ ‎ 设平面的法向量 ‎∵ ∴ , ‎ 令 则,‎ ‎∵为的中点,∴,‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎ 又平面,∴平面 ------8分 ‎（3）由（2）可知平面的法向量,‎ 设, ‎ 则,‎ 若直线与平面所成的角为,‎ 则 ‎ ‎ 解得, 故不存在这样的点,使得直线与平面所成的角为.‎ ‎ ------14分