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湖南师大附中2019届高三月考试卷(三)
数 学(理科)
命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普
审题：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝＋2i，则下列结论中正确的是(C)
A．z的虚部为i B．|z|＝2 C．z2为纯虚数 D．z＝－1＋i
【解析】由已知，z＝＋2i＝1＋i，则z的虚部为1，|z|＝，z2＝2i为纯虚数，z＝1－i，故选C.
2．设x∈R，若“|x－a|0”的充分不必要条件，则a的取值范围是(A)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
C．(－3，2) D．[－3，2]
【解析】由|x－a|，即an>an＋1，所以数列{an}单调递减．
因为a6a7b>0)，O为坐标原点，若椭圆C上存在两个关于x轴对称的点A，B，使得|AB|＝b，且△AOB的重心为椭圆C的一个焦点，则椭圆C的离心率为(B)
A. B. C. D.
【解析】不妨设点A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，因为点A，B关于x轴对称，则点B(x0，－y0)，
因为|AB|＝b，则y0＝.因为△AOB的重心为椭圆C的一个焦点，则＝c，即x0＝.
因为点A在椭圆C上，则＋＝1，所以＋＝1，即e2＝，即e＝，选B.
10．将函数f(x)＝sin的图像向左平移n(n>0)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为(B)
A. B. C. D.
【解析】由f(x)＝sin向左平移n(n>0)个单位后得到函数y＝sin的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y＝sin的图像，因其为偶函数，故x＝0时，2n＋＝＋kπ，k∈Zn＝＋，k∈Z.故选B.
11．如图所示，点G是△ABC内一点，若S△AGB＝7，S△BGC＝5，S△AGC＝6，且＝x＋y，则x＋y＝(C)
A. B. C. D．1
【解析】在GA上取一点E，使得＝，
在GB上取一点F，使得＝，连接CE，EF，FC.
∴S△EGF＝××S△AGB＝，S△CGE＝×S△AGC＝，S△CGF＝×S△BGC＝，
∴G为△CEF的重心，
∴＋＋＝0，∴＋＋＝0，
∴5＋6＋7＝0，∴18＋6＋7＝0.
∴＝＋，∴x＋y＝，选C.
12．设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围是(D)
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
【解析】由f(x)＝x－a－x＝0得ax＝；
由g(x)＝xlogax－1＝0得logax＝；
因为函数y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于直线y＝x对称，
由得不妨设x12，且x2>1,
所以x1＋4x2＝x1＋x2＋3x2>5，故答案选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：＝__－4__．
【解析】原式＝＝＝－4.
14．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是__an＝2n－1__．
【解析】当n＝1时，S1＝2a1－1，则a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，即an＋1＝2(an－1＋1)．
则数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.
15．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，σ2)，若每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为____．
【解析】∵三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，σ2)，
∴概率密度分布图像关于x＝1 000(小时)对称，
∵每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为，∴每个元件的使用寿命不超过800小时的概率为，
∴每个元件的使用寿命超过800小时的概率为，
根据此部件的结构，元件1，2中至少有一个正常工作，元件3必须正常工作，
又∵各个元件能否正常工作相互独立，
设三个元件能正常工作的事件分别记作A，B，C，该部件能正常工作的事件记作M，
则M＝(·)·C，P(M)＝P((·))·P(C)＝(1－P(·))·P(C)＝(1－P()P())·P(C)
＝×＝，故答案为.
16．已知函数f＝x2＋m与函数g＝－ln －3x的图像上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是____．
【解析】原问题等价于h＝f＋g＝x2＋ln x－3x＋m在有零点，
而h′＝2x＋－3＝，知h在单调递减，在单调递增，
又h＝m－2，h＝ln 2－2＋m，h＝－ln 2－＋m，由ln 2>可判断h>h，
因而h的值域为，
又h有零点有m－2≤0≤ln 2－2＋m得m∈.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知m＝，n＝(cos C，1)，且m·n＝b.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．
【解析】(Ⅰ)由m＝，n＝(cos C，1)，且m·n＝b可得2acos C＋c＝2b，(1分)
由正弦定理，得2sin Acos C＋sin C＝2sin B．(2分)
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，则sin C＝2cos Asin C．(4分)
因为sin C≠0，则cos A＝.又00.
所以直线l的方程是x＝y＋6，即x－y－6＝0.(11分)
因为圆O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝2＝r，所以直线l与圆O相切．
(12分)
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋(x－1)2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)试证对任意的n∈N*，有1＋＋＋…＋
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