佛山一中2018-2019年上学期期中高二数学（文科）答案.pdf

1 / 4 佛山一中 2018-2019 学年高二上学期期中考试答案 数学（文科） 一、选择题 1-5 DBCAC 6-10 DBAAB 11-12 DD 二、填空题：每题共 4 小题，每小题 5 分。 13.相交 14. 20或   x y y x 15. 9 2  16. 80, 5   三、解答题：每题共 6 小题，共 70 分。 17.（本小题满分 10 分） （1） 如图，由已知 퐴퐷∥퐵퐶， 故 ∠퐷퐴푃 或其补角即为异面直线 퐴푃 与 퐵퐶 所成的角，……2 分 ∵퐴퐷 ⊥ 平面푃퐷퐶， 面AD PDC ∴ 퐴퐷 ⊥ 푃퐷，……3 分 在 Rt △ 푃퐷퐴 中，由已知，得 퐴푃 = √퐴퐷2 + 푃퐷2 = √5，故 cos∠퐷퐴푃 = 퐴퐷 퐴푃 = √5 5 ，……5 分 ∴异面直线 퐴푃 与 퐵퐶 所成角的余弦值为 √5 5 ．……6 分 （2） ∵퐴퐷 ⊥ 平面푃퐷퐶， 푃퐷 ⊂ 平面푃퐷퐶，∴ 퐴퐷 ⊥ 푃퐷，……7 分 又∵ 퐵퐶∥퐴퐷，∴ 푃퐷 ⊥ 퐵퐶，……8 分 又 푃퐷 ⊥ 푃퐵， BC PB B ∴푃퐷 ⊥ 平面푃퐵퐶．……10 分 18.（本小题满分 12 分） 解：（1）∵四边形OABC 是矩形,OA 所在直线的斜率 4 3OAk ……1 分 ∴OC 的斜率为 3 4 ,OC 所在的直线方程为 y = x4- 3 ,……2 分 ∵ 10 ABOC ,设 4( , )3C xx, 则 103 5 3 4 2 2       xxxOC , ……4 分 ∴ 6或6x (舍去) ……6 分 ∴点C 的坐标为 ）8,6-（ .……7 分 （2）∵OA与 BC 平行, ∴ BC 所在直线的斜率 4 3 OABC kk ……9 分 ∴ BC 所在直线的方程为 )6(4 38  xy ,……11 分 即 05043  yx ………12 分 2 / 4 19.（本小题满分 12 分） Ⅰ）证明：在 PAD 中 PA PD ，O 为 AD 中点，所以 PO AD ．……1 分 又侧面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ， PO  平面 PAD ， ∴ PO  平面 ABCD．……3 分 又 平面 PBO，所以面 PBO⊥平面 ABCD ……4 分 （Ⅱ）连接 AC 、 BO ，假设存在点Q ，使得它到平面 PCD的距离为 ． 设QD x ，则 1 2DQCSx  ……5 分 ∵ //BC AD ，O 为 AD 的中点， 2AD BC ∴ //BC OD ，且 BC OD 所以CD OB ∵ AB AD ，且 1AB AO ∴ 222CD OB AB AO    ……7 分 在 Rt POC 中， 2PC  ∴ 2PC CD DP ∴ 233( 2)42PCDS    ……9 分 由 P DQC Q PCDVV ，即 1 1 1 3 313 2 3 2 2x     ……10 分 解得 3 2x  ……11 分 ∴存在点Q 满足题意，此时 1 3 AQ QD  ．……12 分 20.（本小题满分 12 分） （1）∵E，F 分别为 PA，PB 的中点，∴ ，又 ，∴ EF CD ，……1 分 又∵ ,面 面EF PCD CD PCD ,∴ 面EF PCD ……2 分 又 F，G 分别为 PB，BC 的中点，∴FG PC。……3 分 又∵ ,面 面FG PCD PC PCD ,∴ 面FG PCD ……4 分 又∵ PC CD C ,∴ 。……5 分 （2）设 H 为 AD 的中点，则 GH EF，，则平面 EFG 截四棱锥 的截面为梯形 ，……6 分 ∵ 面 ，又 ， 又∵ ， PA AD A ∴ ，又 ， 又 ， ，∴梯形 为直角梯形. ……8 分 在直角梯形 中：不防 PA=AB= ， 3 / 4 ∴ ∴a=2. ……11 分 ……12 分 21.（本小题满分 12 分） (1)解：若 l 的斜率不存在，即 l：푥 = −1，代入圆的方程可得，푦 = ±4，即有|퐴퐵| = 8，成立；……1 分 若 l 的斜率存在，可设直线 l：푦 − 3 2 = 푘(푥 + 1)，即为2푘푥 − 2푦 + 3 + 2푘 = 0，……2 分 圆 C 到直线 l 的距离为푑 = |4푘−0+3+2푘| √4푘2+4 = |6푘+3| √4푘2+4 ，……3 分 由퐴퐵 = 8，即有2√25 − 푑2 = 8，即有푑 = 3，……4 分 即 |6푘+3| √4푘2+4 = 3，解得푘 = 3 4，则直线 l 的方程为3푥 − 4푦 + 9 = 0，……5 分 ∴l 的方程为3푥 − 4푦 + 9 = 0或푥 = −1; ……6 分 （2）证明：∵P 是直线푥 + 푦 + 6 = 0上的点，设푃(푚, −푚 − 6)， 由切线的性质可得퐴퐶 ⊥ 푃퐴，……7 分 经过 A，P，C，的三点的圆，即为以 PC 为直径的圆， 则方程为(푥 − 2)(푥 − 푚) + 푦(푦 + 푚 + 6) = 0，……8 分 整理可得(푥2 + 푦2 − 2푥 + 6푦) + 푚(푦 − 푥 + 2) = 0，……9 分 可令푥2 + 푦2 − 2푥 + 6푦 = 0，且푦 − 푥 + 2 = 0， 解得푥 = 2，푦 = 0，或푥 = −2，푦 = −4．……11 分 则有经过 A，P，C 三点的圆必过定点， 所有定点的坐标为(2,0)，(−2, −4)．……12 分 22.（本小题满分 12 分） 解：(1)由题意得푘푂퐴 = 2，设 l：푦 = 2푥 + 푏，即2푥 − y + 푏 = 0 ……1 分 ∵圆 M 与直线 l 相切，则圆心 M 到直线 l 的距离：푑 = |12−7+푏| √22+1 = 5 ……2 分 解得 5 5 5 -5 5 5或   bb ……3 分 ∴直线 l 的方程为： 2 5 5 5 2 -5 5 5或    y x y x ……4 分 (2) ∵ 푁在直线푥 = 6上，∴设푁(6, 푛)， ∵圆 N 与 x 轴相切，∴圆 N 为：(푥 − 6)2 + (푦 − 푛)2 = 푛2，푛 > 0，……5 分 又圆 N 与圆 M 外切，圆 M：푥2 + 푦2 − 12푥 − 14푦 + 60 = 0，即圆 M：(푥 − 6)2 + (푥 − 7)2 = 25，…6 分 4 / 4 ∴ |7 − 푛| = |푛| + 5，解得푛 = 1，……7 分 ∴圆 N 的标准方程为(푥 − 6)2 + (푦 − 1)2 = 1．……8 分 (3)设푃(푥1,푦1)，푄(푥2,푦2)， ∵ 퐴(2,4)，푇(푡, 0)，푇퐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 푇푃⃗⃗⃗⃗⃗ = 푇푄⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ {푦2 = 푦1 + 4 푥2=푥1+2−푡 ，① ……9 分 ∵点 Q 在圆 M 上，∴ (푥2 − 6)2 + (푦2 − 7)2 = 25，② 将①代入②，得(푥1 − 푡 − 4)2 + (푦1 − 3)2 = 25，……10 分 ∴点푃(푥1,푦1)即在圆 M 上，又在圆[푥 − (푡 + 4)]2 + (푦 − 3)2 = 25上， 从而圆(푥 − 6)2 + (푦 − 7)2 = 25与圆[푥 − (푡 + 4)]2 + (푦 − 3)2 = 25有公共点， ∴ 5 − 5 ≤ √[(푡 + 4) − 6]2 + (3 − 7)2 ≤ 5 + 5．……11 分 解得2 − 2√21 ≤ 푡 ≤ 2 + 2√21， ∴实数 t 的取值范围是[2 − 2√21, 2 + 2√21]. ……12 分