江西省南昌市第二中学2019届高三第三次月考数学（理）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 南昌二中2019届高三第三次考试 数学（理）试卷 命题人：骆 敏 审题人：刘蓓蓓 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.‎ ‎1. 复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）‎ A．3 B．-3i C．3i D．-3‎ ‎2. 函数的定义域为,函数的定义域为,‎ ‎ 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 等差数列中，则（ ）‎ A．8 B．‎6 ‎ C．4 D．3 ‎ ‎4. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ ‎5.已知是定义域为的奇函数，满足．若，‎ 则（ ）‎ A．-2018 B．‎0 ‎ C．2 D．50‎ ‎6. 数列的前项和为，对任意正整数， ，则下列关于的论断中正确 的是（ ）‎ A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列 ‎7. 曲线在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）‎ A．10 B．‎9 ‎ C．8 D． ‎ ‎8. 若实数满足约束条件，目标函数 仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．设向量满足,,则的最大值等于( )‎ A. B‎.1 ‎ C. 4 D.2‎ ‎10. 设函数 ，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 函数，，若成立，则的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 若函数有一个极值点为，且，则关于的方程 的不同实数根个数不可能为（ ）‎ ‎ A．2 B. ‎3 ‎ C．4 D．5 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13. 向量的夹角为，且则__________‎ ‎14. 定积分_________.‎ ‎15.如图， 是直线上的三点， 是直线外一点，已知， ， ．则 ‎=_________.‎ ‎16.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数的定义域为.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若实数的最大值为，正数满足，求的最小值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．‎ ‎（1）若，求△ABC的面积S△ABC；‎ ‎（2）若是边中点，且，求边的长．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和满足，且成等差数列.[‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知 ，若，且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.‎ ‎（1）求的取值范围.‎ ‎（2）若当取最大值时， ，且在中， 分别是角的对边，其面积，求周长的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交轨迹于， 两点，直线， 分别交直线于点， ，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值. ‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 函数 ‎(1)讨论函数的单凋性；‎ ‎(2)若存在使得对任意的不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．‎ 南昌二中2019届高三第三次考试数学（理）试卷参考答案 DBDAC CBBDD AA ‎ ‎6 ‎ ‎1. 复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解】，复数z的虚部为. 本题选择D选项.‎ ‎2.函数的定义域为,的定义域为,‎ ‎ 则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解】选择B ‎3. 等差数列中，则（ ）‎ A．8 B． ‎6 C． 4 D． 3 ‎ ‎【解】D ‎4. 函数的图象如图所示，为了得到 的图象，则只将的图象（ ）‎ A． 向左平移个单位 B． 向右平移个单位 C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位 【答】A ‎【解析】‎ ‎,所以将的图象向左 平移个单位得到，选A ‎5．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）‎ A． B． ‎0 C． 2 D． 50‎ ‎【答案】C【解析】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），‎ 则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，‎ 则 ‎=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）=f（1）+f（2）=2+0=2，‎ ‎6. 数列的前项和为，对任意正整数， ，则下列关于的论断中正确的是（ ）‎ A． 一定是等差数列 B． 一定是等比数列 C． 可能是等差数列，但不会是等比数列 D． 可能是等比数列，但不会是等差数列 ‎【答】C【解】∵an+1=3Sn，∴Sn+1−Sn=3Sn，∴Sn+1=4Sn，‎ 若S1=0，则数列{an}为等差数列；‎ 若S1≠0，则数列{Sn}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴Sn=S1⋅4n−1，‎ 此时an=Sn−Sn−1=3S1⋅4n−2(n⩾2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。‎ 综上，数列{an}可能为等差数列，但不会为等比数列。‎ ‎7. 曲线在点处的切线的斜率为2，‎ 则的最小值是（ ）‎ A． 10 B． ‎9 C． 8 D． 【答案】B ‎【解析】根据导数的几何意义， ，即 ‎==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当 即时，取等号.所以的最小值是9.‎ ‎8. 若实数满足约束条件，目标函数 仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． 【答案】B ‎【解】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，将，化成，‎ 当时， 仅在点处取得最小值，‎ 即目标函数仅在处取得最小值，解得，故选B.‎ ‎9．设向量满足,,则的最大值等于( )‎ A. B‎.1 C. 4 D.2‎ ‎【答】D【解】设 因为， ，‎ ‎，所以四点共圆,因为，，所以，由正弦定理知，即过四点的圆的直径为2，所以||的最大值等于直径2‎ ‎10. 设函数 ，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答】D ‎【解】 由，则， 画出函数的大致图象，如图所示，‎ ‎ 得当时方程恰有三个根，由得；由得，由图可知， 与点关于直线对称；‎ ‎ 点和点关于对称， 所以，‎ ‎ 所以，故选D．‎ ‎ 11. 函数，，若成立，则的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解】设，则，，，‎ ‎∴，令，‎ 则，，∴是上的增函数，‎ 又，∴当时，，当时，，‎ 即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，‎ ‎，∴的最小值是．故选A．‎ ‎12. 若函数有一个极值点为，且，则关于的方 ‎ 程的不同实数根个数不可能为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解】由，由题意有两个不等实根，不妨设为，因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是3或4或5，不可能是2．‎ ‎13.已知向量的夹角为，且则______‎ ‎【解】6‎ ‎14. 定积分__________．【答案】‎ ‎【解】 ，故 ‎15. 如图， 是直线上的三点， 是直线外一点，已知， ‎ ‎， ．则=_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 ， ，则由可得 ‎ 且 ‎ 解得 ‎ 则 ‎ ‎16.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原方程可化为，令，则．‎ 设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．故当时，函数有极大值，也为最大值，且．‎ 可得函数的图象如下：‎ ‎∵关于的方程存在三个不等实根，‎ ‎∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．‎ 令，则有，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是 ‎17. 已知函数的定义域为.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若实数的最大值为，正数满足，求的最小值.‎ ‎【解】（1）由在上恒成立，即恒成立．‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎（2）由（1）知，即，‎ 当且仅当的最小值是．‎ B C D A ‎18.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．‎ ‎（1）若，求△ABC的面积S△ABC；‎ ‎（2）若是边中点，且，求边的长．‎ ‎ 【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解】（1），，又，‎ B C D A E 所以，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，‎ 则，BE＝2BD＝7，CE＝AB＝5，‎ 在△BCE中，由余弦定理：． ‎ 即，解得：CB＝4． ‎ ‎19. 已知数列的前项和满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.【答】（1）（2）‎ ‎【解】（1），所以，即（），即数列是以2为公比的等比数列，又成等差数列，所以，即 ‎，解得，所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以 ‎，‎ ‎20. 已知 ，若，且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.‎ ‎（1）求的取值范围.‎ ‎（2）若当取最大值时， ，且在中， 分别是角的对边，其面积，求周长的最小值.【答案】（1）（2）6‎ ‎【解】（1）‎ 又由条件知，所以. ‎ ‎（2）当取最大值1时， ，又，‎ 所以，故.在中， ， 又由余弦定理有： ‎ 周长 当且仅当时取得等号.所以， 周长的最小值为.‎ ‎21. 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交轨迹于， 两点，直线， 分别交直线于点， ，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解】（Ⅰ）设点的坐标为，因为定点在定直线： 的右侧，且动点到定直线： 的距离比到定点的距离大，‎ 所以且得，即，‎ 轨迹的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设， （），则， ，∵， ， 三点共线，∴，‎ ‎∴，又，∴，‎ 直线的方程为，令，得．同理可得．‎ 所以以为直径的圆的方程为，‎ 即．将代入上式得 ‎，令，即或，‎ 故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值4．‎ ‎22. 函数 ‎(1)讨论函数的单凋性；‎ ‎(2)若存在使得对任意的不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（I） ，记 ‎ ‎（i）当时，所以，函数在上单调递增； ‎ ‎（ii）当时，因为，‎ 所以，函数在上单调递增；‎ ‎（iii）当时，由，解得，‎ 所以函数在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增．‎ ‎（II）由（I）知当时，函数在区间上单调递增，‎ 所以当时，函数的最大值是，对任意的，‎ 都存在，使得不等式成立，‎ 等价于对任意的，不等式都成立， ‎ 即对任意的，不等式都成立，‎ 记，由，‎ ‎，‎ 由得或,因为，所以，‎ ‎①当时， ，且时， ，‎ 时， ，所以，‎ 所以时， 恒成立；‎ ‎②当时， ，因为，所以，‎ 此时单调递增，且，‎ 所以时， 成立；‎ ‎③当时， ， ，‎ 所以存在使得，因此不恒成立．‎ 综上， 的取值范围是． ‎