5.1 二次函数
一、选择题
1．2017·上海浦东新区一模在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( )
A．y＝2x2 B．y＝2x－2
C．y＝ax2 D．y＝
2．下列函数中是二次函数的有( )
①y＝x＋；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝＋x.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3时，y的值为( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
4．下列函数关系中，是二次函数的是( )
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形的面积S与半径R之间的关系
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放y辆单车．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数表达式是( )
A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
二、填空题
6．二次函数y＝(x－2)2－3中，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为________．
7．已知关于x的函数y＝(a2－4)x2＋2x是二次函数，则a________.
8．设矩形窗户的周长为6 m，则窗户面积S(m2)与窗户的一边长x(m)之间的函数表达式是____________，自变量x的取值范围是________.
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9．某商场将进价为40元/套的某种服装按50元/套售出时，每天可以售出300套．市场调查发现，这种服装每提高1元售价，每天销量就减少5套．如果商场将每套售价定为x(x＞50)元，每天的销售利润为y元，那么y与x之间的函数表达式为________________.
10．2017·常德如图K－1－1，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数表达式为________________．
图K－1－1
三、解答题
11．已知关于x的函数y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋2.
(1)当函数是二次函数时，求m的值；
(2)当函数是一次函数时，求m的值．
12．如图K－1－2，用一段长为30米的篱笆围一个一边靠墙(墙的长度为20米)的矩形鸡场．设BC边的长为x米，鸡场的面积为y平方米．
(1)写出y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)此函数是二次函数吗？如果是，指出此函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
图K－1－2
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13．如图K－1－3，在长为200 m、宽为80 m的矩形区域内修建等宽的三条路(图中阴影部分)．试写出路面面积y(m2)与路的宽度x(m)之间的函数表达式．(不要求写出自变量的取值范围)
图K－1－3
14．某店销售一种小工艺品，该工艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，每周就会少售出2件．设每件工艺品的售价提高x元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元．
(1)填空：每件工艺品售价提高x元后的利润为________元，每周可售出工艺品________件，y关于x的函数表达式为____________；
(2)若y＝384，则每件工艺品的售价应定为多少元？
15．某工厂前年的生产总值为10万元，去年相对前年的年增长率为x，预计今年相对去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当x＝20%时，今年的总产值为多少？
(3)在(2)的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？
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建模思想某农户计划利用现有的一面墙(墙足够长)并再修四面墙，建造如图K－1－4所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m，即AD＝EF＝BC＝x m．(不考虑墙的厚度)
(1)求水池的总容积V(m3)与x(m)之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)若水池的总容积为36 m3，则x应等于多少？
图K－1－4
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详解详析
[课堂达标]
1．A
2．[解析] B ①y＝x＋不是二次函数，因为是分式；②y＝3(x－1)2＋2变形后为y＝3x2－6x＋5，是二次函数；③y＝(x＋3)2－2x2变形后为y＝－x2＋6x＋9，是二次函数；④y＝＋x中是分式，不是二次函数．
3．[解析] A 把x＝3代入二次函数y＝3(x－2)2＋1，得y＝3×(3－2)2＋1＝4.故选A.
4．[解析] D A项，y＝mx＋b，当m≠0(m是常数)时，是一次函数，错误；B项，t＝，当s≠0时，是反比例函数，错误；C项，C＝3a，是正比例函数，错误；D项，S＝πR2，是二次函数，正确．
5．[解析] A 增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)．若该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则第二个月投放单车a(1＋x)辆，第三个月投放单车a(1＋x)2辆，故y与x之间的函数表达式是y＝a(1＋x)2.故选A.
6．[答案] －2 －1
[解析] 把函数表达式化为一般形式，再写出各项的系数和常数项．∵y＝(x－2)2－3＝x2－2x－1，∴二次项系数为，一次项系数为－2，常数项为－1.
7．[答案] ≠±2
[解析] 根据二次函数的定义，知a2－4≠0，解得a≠±2.
8．[答案] S＝－x2＋3x 0＜x＜3
[解析] S＝x(3－x)＝－x2＋3x，自变量x的取值范围是0＜x＜3.
9．[答案] y＝－5x2＋750x－22000
[解析] y＝(x－40)[300－5(x－50)]＝－5x2＋750x－22000.
10．[答案] y＝2x2－4x＋4
[解析] 如图所示：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF＝90°，EH＝FE，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
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∴△AHE≌△BEF(AAS)，
∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2－x.
在Rt△AHE中，由勾股定理，得
EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，
即y＝2x2－4x＋4.
故答案为y＝2x2－4x＋4.
11．解：(1)由得m＝2.
∴当m＝2时，y是x的二次函数．
(2)由得m＝－3；
由得m＝；
由得m＝.
综上所述当，m＝－3或m＝或m＝时，y是x的一次函数．
12．解：(1)∵BC边的长为x米，且鸡场ABCD是矩形鸡场，
∴AB＝(30－x)米，鸡场的面积＝AB·BC＝(30－x)·x，
∴y＝－x2＋15x.
(2)此函数是二次函数，二次项系数是－，一次项系数是15，常数项是0.
13．[解析] 应用等面积变换可将三条路均平移靠边，则路的面积就等于大矩形的面积减去空白矩形的面积．
解：由题意，得y＝200×80－(200－2x)(80－x)，整理，得y＝－2x2＋360x.
14．[解析] (1)根据售价每提高1元其销售量就减少2件可得售价提高x元，则销售量减少2x，根据利润＝(售价－进价)×销量列出代数式即可．
(2)根据(1)中所求得出，y＝384时，代入y与x关系式，列出方程求解即可．
解：(1)∵该工艺品每件进价为12元，售价为20元，
∴每件工艺品售价提高x元后的利润为(20－12＋x)＝(8＋x)元．
∵把每件工艺品的售价提高1元，每周就会少售出2件，
∴每周可售出工艺品(40－2x)件，
∴y关于x的函数表达式为y＝(40－2x)(8＋x)＝－2x2＋24x＋320.
故答案为(8＋x)，(40－2x)，y＝－2x2＋24x＋320.
(2)∵y＝384，
∴384＝－2x2＋24x＋320，
整理，得x2－12x＋32＝0，
(x－4)(x－8)＝0，
解得x1＝4，x2＝8.
4＋20＝24，8＋20＝28，
答：每件工艺品的售价应定为24元或28元．
15．解：(1)前年的生产总值为10万元，去年的生产总值为10(1＋x)
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万元，今年的生产总值为10(1＋x)2万元，
∴y＝10(1＋x)2＝10x2＋20x＋10.
(2)当x＝20%时，y＝10×1.22＝14.4.
即今年的总产值为14.4万元．
(3)三年的总产值为10＋10×1.2＋14.4＝10＋12＋14.4＝36.4(万元)．
[素养提升]
解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x m，
∴AB＝(18－3x)m，
∴V(m3)与x(m)之间的函数表达式为V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x.
x的取值范围为0
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