九年级数学下册第5章二次函数5.3用待定系数法确定二次函数表达式同步练习2（新版）苏科版.doc

‎ ‎ ‎5.3　用待定系数法确定二次函数表达 一、选择题 ‎1．已知二次函数y＝x2＋bx＋4的图像经过点(2，0)，则该函数的表达式是(　　)‎ A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝x2－2x＋4‎ C．y＝x2－4x＋4 D．y＝x2＋4x＋4‎ ‎2．已知某二次函数的图像如图K－5－1所示，则这个二次函数的表达式为(　　)‎ ‎ ‎ A．y＝2(x＋1)2＋8 图K－5－1‎ B．y＝18(x＋1)2－8‎ C．y＝(x－1)2＋8‎ D．y＝2(x－1)2－8‎ ‎3．若二次函数y＝ax2＋bx－1的图像经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(　　)‎ A．－3　 　B．－‎1　　‎ C．2　　 D．3‎ ‎4．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，列出了下面的表格：‎ x ‎…‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－11‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎－2‎ ‎－5‎ ‎…‎ 由于粗心，他算错了其中的一个y值，则这个错误的数值是(　　)‎ A．－11　　 B．－‎2　　‎ C．1　　 D．－5‎ ‎5．2016·滨州在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线相应的函数表达式是(　　)‎ 8‎ ‎ ‎ A．y＝－(x－)2－ B．y＝－(x＋)2－ C．y＝－(x－)2－ D．y＝－(x＋)2＋ 二、填空题 ‎6．若一个二次函数的图像经过(－3，0)，(2，0)和(1，－4)三点，则这个二次函数的表达式是________. ‎7．若抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，1)，B(1，0)，则抛物线的函数表达式为________．‎ ‎8．2017·上海已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是________________________________________________________________________．(只需写一个)‎ ‎9．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，则这个抛物线对应的函数表达式为______________．‎ ‎10．设抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线对应的函数表达式为______________．‎ 三、解答题 ‎11．2018·湖州已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．‎ ‎12．已知二次函数的图像经过原点，对称轴是直线x＝－2，最高点的纵坐标为4，求该二次函数的表达式. ‎13.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上部分点的坐标(x，y)满足下表：‎ 8‎ ‎ ‎ x ‎…‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式；‎ ‎(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．‎ ‎14．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过A(2，0)，B(0，－6)两点．‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式；‎ ‎(2)在图K－5－2中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图像及对称轴. 图K－5－2‎ ‎15．2016·宁波如图K－5－3，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．‎ ‎(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；‎ ‎(2)已知P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．‎ 8‎ ‎ ‎ 图K－5－3‎ 新定义题如果两个二次函数的图像关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图K－5－4所示二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．‎ ‎(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图像所具有的共同特点．‎ ‎(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为______________；二次函数y＝a(x＋h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________________．‎ ‎(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图像与y轴的交点为A，两个图像的顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．‎ 图K－5－4‎ 8‎ ‎ ‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．C ‎2．[解析] D　设顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，其中(－h，k)为顶点坐标．‎ 由图像知，抛物线的顶点坐标是(1，－8)，且经过点(3，0)，‎ 故二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－8.‎ 故选D.‎ ‎3．[解析] D　∵二次函数y＝ax2＋bx－1的图像经过点(1，1)，‎ ‎∴a＋b－1＝1，‎ ‎∴a＋b＝2，‎ ‎∴a＋b＋1＝3.‎ 故选D.‎ ‎4．[解析] D　由函数图像关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图像上．‎ 把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)分别代入函数表达式，得 解得 ‎∴函数表达式为y＝－3x2＋1.‎ 当x＝2时，y＝－11.故选D.‎ ‎5．[解析] A　抛物线y＝x2＋5x＋6＝(x＋)2－，顶点坐标为(－，－)，将顶点绕原点旋转180°，为(，)，旋转前的抛物线开口向下，‎ ‎∴旋转前的抛物线相应的函数表达式为y＝－(x－)2＋，‎ ‎∴向下平移3个单位长度后的表达式为y＝－(x－)2＋－3＝－(x－)2－.‎ 故选A.‎ ‎6．[答案] y＝x2＋x－6‎ ‎[解析] 因为二次函数的图像经过点(－3，0)，(2，0)，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋3)·(x－2)．将点(1，－4)代入，得－4＝(1＋3)×(1－2)a，解得a＝1，所以二次函数的表达式为y＝(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6.‎ 故答案为y＝x2＋x－6.‎ ‎7．[答案] y＝x2－x ‎[解析] 将A(2，1)，B(1，0)代入y＝ax2＋bx，‎ 8‎ ‎ ‎ 得解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝x2－x.‎ ‎8．[答案] 答案不唯一，如y＝2x2－1‎ ‎[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，－1)，∴设该抛物线的表达式为y＝ax2－1.‎ 又∵二次函数的图像开口向上，∴a＞0，‎ ‎∴这个二次函数的表达式可以是y＝2x2－1.‎ ‎9．y＝x2－2x－2‎ ‎10．[答案] y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2‎ ‎[解析] 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，‎ 所以函数表达式为y＝ax2＋bx＋2.‎ 因为点C在直线x＝2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，所以抛物线的对称轴为直线x＝1或直线x＝3，‎ 所以可以建立以下两个方程组：‎ ‎(1) ‎(2) 由方程组(1)，得a＝，b＝－；‎ 由方程组(2)，得a＝－，b＝.‎ 故答案为y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2.‎ ‎11．[解析] 把抛物线上的已知两点坐标代入到抛物线的表达式中，列方程组求解即可．‎ 解：把(－1，0)，(3，0)分别带入y＝ax2＋bx－3，得 解得故a的值为1，b的值为－2.‎ ‎12．[解析] 根据二次函数图像的对称轴是直线x＝－2，最高点的纵坐标为4，可知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，用顶点式设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋4，再把原点坐标代入，求出a的值即可．‎ 解：∵二次函数图像的对称轴是直线x＝－2，最高点的纵坐标为4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(－2，4)．‎ 设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋4.‎ ‎∵二次函数的图像经过原点，‎ ‎∴把(0，0)代入，有0＝(0＋2)2a＋4，解得a＝－1，‎ 8‎ ‎ ‎ ‎∴二次函数的表达式为y＝－x2－4x.‎ ‎[点评] 本题考查的是用待定系数法求二次函数的表达式，根据题意得出抛物线的顶点坐标，合理设出与其对应的函数表达式是解答此题的关键．‎ ‎13．[解析] (1)把已知的三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，求出a，b，c的值，即可确定函数表达式；‎ ‎(2)将(1)中求出的函数表达式配方，即可求得二次函数图像的顶点坐标和对称轴．‎ 解：(1)由题意，得 解得 即二次函数的表达式为y＝x2＋3x－2.将x＝2代入得y＝8.‎ 所以这个二次函数的表达式是y＝x2＋3x－2.‎ ‎(2)y＝x2＋3x－2＝(x＋)2－，‎ 所以二次函数图像的顶点坐标为(－，－)，对称轴是直线x＝－.‎ ‎14．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过A(2，0)，B(0，－6)两点，‎ ‎∴解得 ‎∴这个二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－6.‎ ‎(2)如图所示．‎ ‎15．解：(1)把点B的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋‎3m＋3，‎ 解得m＝2，‎ ‎∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．‎ ‎(2)如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，连接PA，则此时PA＋PC的值最小．‎ 8‎ ‎ ‎ 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b.‎ 由抛物线相应的函数表达式知点C的坐标为(0，3)．‎ ‎∵点C(0，3)，B(3，0)在直线BC上，‎ ‎∴解得 ‎∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.‎ 当x＝1时，y＝－1＋3＝2，‎ ‎∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)答案不唯一，如两上二次函数图像的顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．‎ ‎(2)y＝2(x－2)2＋1　y＝a(x－h)2＋k ‎(3)如图．‎ 由BC＝6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得OA＝8，‎ ‎∴点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－3，4)．‎ 设以点B为顶点的抛物线的表达式为y＝a(x＋3)2＋4.‎ 将点A的坐标代入，得9a＋4＝8，‎ 解得a＝，‎ ‎∴y＝(x＋3)2＋4.‎ y＝(x＋3)2＋4“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝(x－3)2＋4.‎ 根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，此时y＝－(x＋3)2－4，y＝－(x－3)2－4.‎ 综上所述，“关于y轴对称二次函数”的函数表达式为y＝(x＋3)2＋4，y＝(x－3)2＋4或y＝－(x＋3)2－4，y＝－(x－3)2－4.‎ 8‎