5.3 用待定系数法确定二次函数表达
一、选择题
1.已知二次函数y=x2+bx+4的图像经过点(2,0),则该函数的表达式是( )
A.y=x2+2x+4 B.y=x2-2x+4
C.y=x2-4x+4 D.y=x2+4x+4
2.已知某二次函数的图像如图K-5-1所示,则这个二次函数的表达式为( )
A.y=2(x+1)2+8 图K-5-1
B.y=18(x+1)2-8
C.y=(x-1)2+8
D.y=2(x-1)2-8
3.若二次函数y=ax2+bx-1的图像经过点(1,1),则a+b+1的值是( )
A.-3 B.-1 C.2 D.3
4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像时,列出了下面的表格:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-11
-2
1
-2
-5
…
由于粗心,他算错了其中的一个y值,则这个错误的数值是( )
A.-11 B.-2 C.1 D.-5
5.2016·滨州在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线相应的函数表达式是( )
8
A.y=-(x-)2-
B.y=-(x+)2-
C.y=-(x-)2-
D.y=-(x+)2+
二、填空题
6.若一个二次函数的图像经过(-3,0),(2,0)和(1,-4)三点,则这个二次函数的表达式是________.
7.若抛物线y=ax2+bx经过点A(2,1),B(1,0),则抛物线的函数表达式为________.
8.2017·上海已知一个二次函数的图像开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的表达式可以是________________________________________________________________________.(只需写一个)
9.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(1,-3),则这个抛物线对应的函数表达式为______________.
10.设抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线对应的函数表达式为______________.
三、解答题
11.2018·湖州已知抛物线y=ax2+bx-3经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.
12.已知二次函数的图像经过原点,对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,求该二次函数的表达式.
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的坐标(x,y)满足下表:
8
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
2
8
…
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.
14.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(2,0),B(0,-6)两点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在图K-5-2中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图像及对称轴.
图K-5-2
15.2016·宁波如图K-5-3,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)已知P是抛物线的对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
8
图K-5-3
新定义题如果两个二次函数的图像关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”,如图K-5-4所示二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.
(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图像所具有的共同特点.
(2)二次函数y=2(x+2)2+1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为______________;二次函数y=a(x+h)2+k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________________.
(3)平面直角坐标系中,记“关于y轴对称二次函数”的图像与y轴的交点为A,两个图像的顶点分别为B,C,且BC=6,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式.
图K-5-4
8
详解详析
[课堂达标]
1.C
2.[解析] D 设顶点式:y=a(x+h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(-h,k)为顶点坐标.
由图像知,抛物线的顶点坐标是(1,-8),且经过点(3,0),
故二次函数的表达式为y=2(x-1)2-8.
故选D.
3.[解析] D ∵二次函数y=ax2+bx-1的图像经过点(1,1),
∴a+b-1=1,
∴a+b=2,
∴a+b+1=3.
故选D.
4.[解析] D 由函数图像关于对称轴对称,得点(-1,-2),(0,1),(1,-2)在函数图像上.
把(-1,-2),(0,1),(1,-2)分别代入函数表达式,得
解得
∴函数表达式为y=-3x2+1.
当x=2时,y=-11.故选D.
5.[解析] A 抛物线y=x2+5x+6=(x+)2-,顶点坐标为(-,-),将顶点绕原点旋转180°,为(,),旋转前的抛物线开口向下,
∴旋转前的抛物线相应的函数表达式为y=-(x-)2+,
∴向下平移3个单位长度后的表达式为y=-(x-)2+-3=-(x-)2-.
故选A.
6.[答案] y=x2+x-6
[解析] 因为二次函数的图像经过点(-3,0),(2,0),所以设二次函数的表达式为y=a(x+3)·(x-2).将点(1,-4)代入,得-4=(1+3)×(1-2)a,解得a=1,所以二次函数的表达式为y=(x+3)(x-2)=x2+x-6.
故答案为y=x2+x-6.
7.[答案] y=x2-x
[解析] 将A(2,1),B(1,0)代入y=ax2+bx,
8
得解得
∴抛物线的表达式为y=x2-x.
8.[答案] 答案不唯一,如y=2x2-1
[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0,-1),∴设该抛物线的表达式为y=ax2-1.
又∵二次函数的图像开口向上,∴a>0,
∴这个二次函数的表达式可以是y=2x2-1.
9.y=x2-2x-2
10.[答案] y=x2-x+2或y=-x2+x+2
[解析] 因为抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),
所以函数表达式为y=ax2+bx+2.
因为点C在直线x=2上且到抛物线的对称轴的距离等于1,所以抛物线的对称轴为直线x=1或直线x=3,
所以可以建立以下两个方程组:
(1)
(2)
由方程组(1),得a=,b=-;
由方程组(2),得a=-,b=.
故答案为y=x2-x+2或y=-x2+x+2.
11.[解析] 把抛物线上的已知两点坐标代入到抛物线的表达式中,列方程组求解即可.
解:把(-1,0),(3,0)分别带入y=ax2+bx-3,得
解得故a的值为1,b的值为-2.
12.[解析] 根据二次函数图像的对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,可知抛物线的顶点坐标为(-2,4),用顶点式设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4,再把原点坐标代入,求出a的值即可.
解:∵二次函数图像的对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,
∴抛物线的顶点坐标为(-2,4).
设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4.
∵二次函数的图像经过原点,
∴把(0,0)代入,有0=(0+2)2a+4,解得a=-1,
8
∴二次函数的表达式为y=-x2-4x.
[点评] 本题考查的是用待定系数法求二次函数的表达式,根据题意得出抛物线的顶点坐标,合理设出与其对应的函数表达式是解答此题的关键.
13.[解析] (1)把已知的三点的坐标代入y=ax2+bx+c,求出a,b,c的值,即可确定函数表达式;
(2)将(1)中求出的函数表达式配方,即可求得二次函数图像的顶点坐标和对称轴.
解:(1)由题意,得
解得
即二次函数的表达式为y=x2+3x-2.将x=2代入得y=8.
所以这个二次函数的表达式是y=x2+3x-2.
(2)y=x2+3x-2=(x+)2-,
所以二次函数图像的顶点坐标为(-,-),对称轴是直线x=-.
14.解:(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(2,0),B(0,-6)两点,
∴解得
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+4x-6.
(2)如图所示.
15.解:(1)把点B的坐标代入y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,
解得m=2,
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
(2)如图,连接BC交抛物线的对称轴l于点P,连接PA,则此时PA+PC的值最小.
8
设直线BC的函数表达式为y=kx+b.
由抛物线相应的函数表达式知点C的坐标为(0,3).
∵点C(0,3),B(3,0)在直线BC上,
∴解得
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
当x=1时,y=-1+3=2,
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
[素养提升]
解:(1)答案不唯一,如两上二次函数图像的顶点关于y轴对称,对称轴关于y轴对称.
(2)y=2(x-2)2+1 y=a(x-h)2+k
(3)如图.
由BC=6,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,得OA=8,
∴点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-3,4).
设以点B为顶点的抛物线的表达式为y=a(x+3)2+4.
将点A的坐标代入,得9a+4=8,
解得a=,
∴y=(x+3)2+4.
y=(x+3)2+4“关于y轴对称二次函数”的表达式为y=(x-3)2+4.
根据对称性,开口向下的抛物线也符合题意,此时y=-(x+3)2-4,y=-(x-3)2-4.
综上所述,“关于y轴对称二次函数”的函数表达式为y=(x+3)2+4,y=(x-3)2+4或y=-(x+3)2-4,y=-(x-3)2-4.
8