九年级数学下册5.3用待定系数法确定二次函数表达式同步练习(共2套苏科版)
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资料简介
‎ ‎ ‎5.3 用待定系数法确定二次函数表达 一、选择题 ‎1.已知二次函数y=x2+bx+4的图像经过点(2,0),则该函数的表达式是(  )‎ A.y=x2+2x+4 B.y=x2-2x+4‎ C.y=x2-4x+4 D.y=x2+4x+4‎ ‎2.已知某二次函数的图像如图K-5-1所示,则这个二次函数的表达式为(  )‎ ‎ ‎ A.y=2(x+1)2+8 图K-5-1‎ B.y=18(x+1)2-8‎ C.y=(x-1)2+8‎ D.y=2(x-1)2-8‎ ‎3.若二次函数y=ax2+bx-1的图像经过点(1,1),则a+b+1的值是(  )‎ A.-3   B.-‎1  ‎ C.2   D.3‎ ‎4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像时,列出了下面的表格:‎ x ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎-11‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎-5‎ ‎…‎ 由于粗心,他算错了其中的一个y值,则这个错误的数值是(  )‎ A.-11   B.-‎2  ‎ C.1   D.-5‎ ‎5.2016·滨州在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线相应的函数表达式是(  )‎ 8‎ ‎ ‎ A.y=-(x-)2- B.y=-(x+)2- C.y=-(x-)2- D.y=-(x+)2+ 二、填空题 ‎6.若一个二次函数的图像经过(-3,0),(2,0)和(1,-4)三点,则这个二次函数的表达式是________. ‎7.若抛物线y=ax2+bx经过点A(2,1),B(1,0),则抛物线的函数表达式为________.‎ ‎8.2017·上海已知一个二次函数的图像开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的表达式可以是________________________________________________________________________.(只需写一个)‎ ‎9.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(1,-3),则这个抛物线对应的函数表达式为______________.‎ ‎10.设抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线对应的函数表达式为______________.‎ 三、解答题 ‎11.2018·湖州已知抛物线y=ax2+bx-3经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.‎ ‎12.已知二次函数的图像经过原点,对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,求该二次函数的表达式. ‎13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的坐标(x,y)满足下表:‎ 8‎ ‎ ‎ x ‎…‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式;‎ ‎(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.‎ ‎14.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(2,0),B(0,-6)两点.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式;‎ ‎(2)在图K-5-2中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图像及对称轴. 图K-5-2‎ ‎15.2016·宁波如图K-5-3,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).‎ ‎(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;‎ ‎(2)已知P是抛物线的对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.‎ 8‎ ‎ ‎ 图K-5-3‎ 新定义题如果两个二次函数的图像关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”,如图K-5-4所示二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.‎ ‎(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图像所具有的共同特点.‎ ‎(2)二次函数y=2(x+2)2+1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为______________;二次函数y=a(x+h)2+k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________________.‎ ‎(3)平面直角坐标系中,记“关于y轴对称二次函数”的图像与y轴的交点为A,两个图像的顶点分别为B,C,且BC=6,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式.‎ 图K-5-4‎ 8‎ ‎ ‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1.C ‎2.[解析] D 设顶点式:y=a(x+h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(-h,k)为顶点坐标.‎ 由图像知,抛物线的顶点坐标是(1,-8),且经过点(3,0),‎ 故二次函数的表达式为y=2(x-1)2-8.‎ 故选D.‎ ‎3.[解析] D ∵二次函数y=ax2+bx-1的图像经过点(1,1),‎ ‎∴a+b-1=1,‎ ‎∴a+b=2,‎ ‎∴a+b+1=3.‎ 故选D.‎ ‎4.[解析] D 由函数图像关于对称轴对称,得点(-1,-2),(0,1),(1,-2)在函数图像上.‎ 把(-1,-2),(0,1),(1,-2)分别代入函数表达式,得 解得 ‎∴函数表达式为y=-3x2+1.‎ 当x=2时,y=-11.故选D.‎ ‎5.[解析] A 抛物线y=x2+5x+6=(x+)2-,顶点坐标为(-,-),将顶点绕原点旋转180°,为(,),旋转前的抛物线开口向下,‎ ‎∴旋转前的抛物线相应的函数表达式为y=-(x-)2+,‎ ‎∴向下平移3个单位长度后的表达式为y=-(x-)2+-3=-(x-)2-.‎ 故选A.‎ ‎6.[答案] y=x2+x-6‎ ‎[解析] 因为二次函数的图像经过点(-3,0),(2,0),所以设二次函数的表达式为y=a(x+3)·(x-2).将点(1,-4)代入,得-4=(1+3)×(1-2)a,解得a=1,所以二次函数的表达式为y=(x+3)(x-2)=x2+x-6.‎ 故答案为y=x2+x-6.‎ ‎7.[答案] y=x2-x ‎[解析] 将A(2,1),B(1,0)代入y=ax2+bx,‎ 8‎ ‎ ‎ 得解得 ‎∴抛物线的表达式为y=x2-x.‎ ‎8.[答案] 答案不唯一,如y=2x2-1‎ ‎[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0,-1),∴设该抛物线的表达式为y=ax2-1.‎ 又∵二次函数的图像开口向上,∴a>0,‎ ‎∴这个二次函数的表达式可以是y=2x2-1.‎ ‎9.y=x2-2x-2‎ ‎10.[答案] y=x2-x+2或y=-x2+x+2‎ ‎[解析] 因为抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),‎ 所以函数表达式为y=ax2+bx+2.‎ 因为点C在直线x=2上且到抛物线的对称轴的距离等于1,所以抛物线的对称轴为直线x=1或直线x=3,‎ 所以可以建立以下两个方程组:‎ ‎(1) ‎(2) 由方程组(1),得a=,b=-;‎ 由方程组(2),得a=-,b=.‎ 故答案为y=x2-x+2或y=-x2+x+2.‎ ‎11.[解析] 把抛物线上的已知两点坐标代入到抛物线的表达式中,列方程组求解即可.‎ 解:把(-1,0),(3,0)分别带入y=ax2+bx-3,得 解得故a的值为1,b的值为-2.‎ ‎12.[解析] 根据二次函数图像的对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,可知抛物线的顶点坐标为(-2,4),用顶点式设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4,再把原点坐标代入,求出a的值即可.‎ 解:∵二次函数图像的对称轴是直线x=-2,最高点的纵坐标为4,‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(-2,4).‎ 设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4.‎ ‎∵二次函数的图像经过原点,‎ ‎∴把(0,0)代入,有0=(0+2)2a+4,解得a=-1,‎ 8‎ ‎ ‎ ‎∴二次函数的表达式为y=-x2-4x.‎ ‎[点评] 本题考查的是用待定系数法求二次函数的表达式,根据题意得出抛物线的顶点坐标,合理设出与其对应的函数表达式是解答此题的关键.‎ ‎13.[解析] (1)把已知的三点的坐标代入y=ax2+bx+c,求出a,b,c的值,即可确定函数表达式;‎ ‎(2)将(1)中求出的函数表达式配方,即可求得二次函数图像的顶点坐标和对称轴.‎ 解:(1)由题意,得 解得 即二次函数的表达式为y=x2+3x-2.将x=2代入得y=8.‎ 所以这个二次函数的表达式是y=x2+3x-2.‎ ‎(2)y=x2+3x-2=(x+)2-,‎ 所以二次函数图像的顶点坐标为(-,-),对称轴是直线x=-.‎ ‎14.解:(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(2,0),B(0,-6)两点,‎ ‎∴解得 ‎∴这个二次函数的表达式为y=-x2+4x-6.‎ ‎(2)如图所示.‎ ‎15.解:(1)把点B的坐标代入y=-x2+mx+3,得0=-32+‎3m+3,‎ 解得m=2,‎ ‎∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(1,4).‎ ‎(2)如图,连接BC交抛物线的对称轴l于点P,连接PA,则此时PA+PC的值最小.‎ 8‎ ‎ ‎ 设直线BC的函数表达式为y=kx+b.‎ 由抛物线相应的函数表达式知点C的坐标为(0,3).‎ ‎∵点C(0,3),B(3,0)在直线BC上,‎ ‎∴解得 ‎∴直线BC的表达式为y=-x+3.‎ 当x=1时,y=-1+3=2,‎ ‎∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).‎ ‎[素养提升]‎ 解:(1)答案不唯一,如两上二次函数图像的顶点关于y轴对称,对称轴关于y轴对称.‎ ‎(2)y=2(x-2)2+1 y=a(x-h)2+k ‎(3)如图.‎ 由BC=6,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,得OA=8,‎ ‎∴点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-3,4).‎ 设以点B为顶点的抛物线的表达式为y=a(x+3)2+4.‎ 将点A的坐标代入,得9a+4=8,‎ 解得a=,‎ ‎∴y=(x+3)2+4.‎ y=(x+3)2+4“关于y轴对称二次函数”的表达式为y=(x-3)2+4.‎ 根据对称性,开口向下的抛物线也符合题意,此时y=-(x+3)2-4,y=-(x-3)2-4.‎ 综上所述,“关于y轴对称二次函数”的函数表达式为y=(x+3)2+4,y=(x-3)2+4或y=-(x+3)2-4,y=-(x-3)2-4.‎ 8‎

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