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泉港一中、南安国光中学高三年段两校联考
2018-2019学年第一学期期中考试理科数学科试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1. 已知集合2，，，则
A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3} D. {1,2}
2．已知复数 (其中i是虚数单位),则=（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中,“>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
4设数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，则（ ）
A.1009 B. 1011 C. 2018 D. 2019
5．，，则（ ）
A． B． C． D．
6.函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则=
A. B. C. D.-
7．函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为（ ）
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
9．设正实数满足则（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为（ ）
A． 39 B．40 C．41 D．42
11.已知两个单位向量，，且满足，存在向量使，则的最大值为
A. 2 B. C. D. 1
12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）
A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有
C．对于任意点都有 D．至少存在两个点使得
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13. 。
14.设向量与的夹角为，，则 。
15.已知若函数只有一个零点，则的取值范围是________。
16．设△的三边所对的角分别为．已知，则的最大值为_____。
三．解答题(满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17、(本小题满分12分)
已知在等差数列中，为其前项和，；等比数列的前项和.
（I）求数列，的通项公式；
（II）设,求数列的前项和.
18、(本小题满分12分)
如图，在中，点P在边BC上，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积是，求．
19、(本小题满分12分)
食品安全问题越来越引起人们的重视，农药，化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲，乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的的年收入Ｐ与投入(单价：万元)满足，种黄瓜的年收入Ｑ与投入(单价：万元)满足,设甲大棚的投入为(单价：万元)，每年两个大棚的总收益为(单价：万元).
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)试问如何安排甲，乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？
20、(本小题满分12分)
将射线y＝x(x≥0)绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A(cos θ，sin θ)．
（I）求点A的坐标；
（II）若向量＝(sin 2x，2cos θ)，＝(3sin θ，2cos 2x)，求函数在区间上的单调性．
21、(本小题满分12分)
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若，且，证明：．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22(本小题满分10分)
选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设过点且倾斜角为的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的普通方程．
23(本小题满分10分)
4—5：不等式
已知函数.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.
泉港一中、南安国光中学高三年段两校联考
2018-2019学年第一学期期中考试理科数学参考答案
一． 选择题：DCBBD BDCCA AC
二． 解答题:
13. 4 14.
15. 16.
三．解答题
17.解：（I）设等差数列的首项为 公差为，
………………3分
且满足上式， ……………6分
（II） …………8分
…………分
18.Ⅰ 在中，因为，，，
由余弦定理得，………………2分
所以，
整理得，
解得．
所以．
所以是等边三角形．
所以． ………………6分
Ⅱ 法1：由于是的外角，所以．
因为的面积是，所以．
所以．…………8分
在中，，
所以．………………….10分
在中，由正弦定理得，
所以．………………12分
19.解：（Ⅰ）因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以．………………4分
（II），………………6分
依题意得解得，
故（）． ………………7分
令， ………………8分
则，
当，即时，， ………………11分
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元……12分
20.解：（Ⅰ）设射线y＝x(x≥0)与x轴的非负半轴所成的锐角为α，
则tan α＝，α∈. ………………2分
所以tan α＜tan ，所以α∈，
所以tan θ＝tan＝＝， ………………4分
θ∈，
所以由 得
所以点A的坐标为. ………………6分
（II）f(x)＝3sin θ·sin 2x＋2cos θ·2cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin. ………………8分
由x∈，
得2x＋∈，
2x＋∈即x∈时,f(x)单调递增,
所以f(x)在x∈上单调递增在x∈上单调递减………………12分
21. 解：
，
时，因为，所以
函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；
当时，令，解得，
当时，；当，．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
在区间上的极小值为，无极大值．……………4分
（II）因为，由知，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
不妨设，则，
要证，只要证，即证…………6分
因为在区间上单调递增，所以，
又，即证，……………8分
构造函数，
即，，……………10分
因为，所以，，即，
所以函数在区间上单调递增，故，
而，故，
所以，即，所以成立．……………12分
22圆C的极坐标方程为．
，，，
圆C的直角坐标方程为，
化为圆的标准方程为 ………………5分
（II）设直线l的参数方程为为参数
将l代入圆C的直角坐标方程中，
化简得，
设A，B两点所对应的参数分别为，，
由韦达定理知，，
由，同号 又，，
由可知或，
或，解得，
，
的普通方程为
23.（Ⅰ）
所以解集为：. ………………5分
（II）
所以的取值范围为：. ………………10分
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