[6.2 黄金分割]
一、选择题
1．如图K－13－1，C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列结论中正确的是( )
图K－13－1
A．AB2＝AC2＋BC2 B．BC2＝AC·BA
C.＝ D.＝
2．已知P是线段AB的一个黄金分割点(AP＞PB)，则PB∶AB的值为( )
A. B.
C. D.
3．已知线段MN＝6 cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是( )
A．(9－3 )cm B．(3 －3)cm
C．(3 －1)cm D．(3－)cm
4．宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用下面的方法画出黄金矩形：如图K－13－2①，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF.以点F为圆心，以FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G，作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则下列图②中的矩形是黄金矩形的是( )
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图K－13－2
A．矩形ABFE B．矩形EFCD
C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题
5．已知C是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝8 cm，AC＞BC，那么AC＝________ cm.
6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为________cm.(结果保留2位小数)
7．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比越接近黄金比时越给人一种美感．某女教师上身长约61.8 cm，下身长约93 cm，她要穿________ cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果．(精确到1 cm)
三、解答题
8．如图K－13－3所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长；
(2)M是AD的黄金分割点吗？为什么？
图K－13－3
探究题我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.如图K－13－4，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠B＝36°.
(1)写出图中所有的黄金三角形，并选一个说明理由；
(2)在线段BC上是否存在点P(点B，C除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
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图K－13－4
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详解详析
[课堂达标]
1．[解析] C 根据黄金分割的定义，可知＝.故选C.
2．[解析] A 根据题意，得AP＝AB，∴PB＝AB－AP＝AB，∴PB∶AB＝.故选A.
3．[解析] B MP＝×6＝(3 －3)cm，故选B.
4．[解析] D 由作图方法可知DF＝CF，所以CG＝(－1)CF，且GH＝CD＝2CF，从而得出黄金矩形．由题意易得CG＝(－1)CF，GH＝2CF，∴＝＝，∴矩形DCGH是黄金矩形．故选D.
5．[答案] (4 －4)
[解析] 由题意得AC＝AB＝×8＝(4 －4)cm.
6．[答案] 12.36
[解析] ∵书的宽与长之比为黄金比，长为20 cm，
∴它的宽＝20×＝10(－1)≈12.36(cm)．
故答案为12.36.
7．[答案] 7
[解析] 设她要穿x cm的高跟鞋．由题意得＝，解得x≈7.
8．解：(1)在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，
由勾股定理，得PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝－1，
∴DM＝AD－AM＝2－(－1)＝3－.
故AM的长为－1，DM的长为3－.
(2)M是AD的黄金分割点．理由如下：
∵＝，
∴M是AD的黄金分割点．
[素养提升]
解：(1)所有的黄金三角形有三个：△DBC，△ADC，△BAC.
选△DBC说明：∵∠B＝36°，DB＝DC，
∴△DBC是黄金三角形．
或选△ADC说明：∵DB＝DC＝AC，
∴∠BCD＝∠B＝36°，∠A＝∠CDA＝∠BCD＋∠B＝72°，
∴∠ACD＝180°－∠CDA－∠A＝36°.
∴△ADC是黄金三角形．
或选△BAC说明：
∵DB＝DC＝AC，
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∴∠BCD＝∠B＝36°，∠A＝∠CDA＝∠BCD＋∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠A＝72°，
∴∠A＝∠ACB，∴BA＝BC.
又∵∠B＝36°，∴△BAC是黄金三角形．
(2)存在．有两个符合条件的点P.
①以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线交BC于点P1；
②以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD长为半径作弧交BC于点P2.
点P1，P2即为所求．
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