九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.2利用两角证相似同步练习2（新版）苏科版.doc

‎ ‎ ‎ [6.4　第2课时　利用两角证相似]‎ 一、选择题 ‎1．在下列条件下，不能说明△ABC和△A′B′C′相似的是(　　)‎ A．∠A＝30°，∠B＝70°，∠A′＝30°，∠B′＝70°‎ B．∠A＝56°，∠B＝44°，∠A′＝56°，∠C′＝80°‎ C．∠A＝56°，∠C＝80°，∠B′＝44°，∠C′＝80°‎ D．∠A＝44°，∠B＝72°，∠A′＝44°，∠C′＝36°‎ ‎2．2018·永州如图K－16－1，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(　　)‎ 图K－16－1‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎3．给出下面四个结论，其中正确的有(　　)‎ ‎①两个等腰直角三角形相似；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④有一个角为100°的两个等腰三角形相似．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．2017·贵州如图K－16－2，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(　　)‎ 7‎ ‎ ‎ 图K－16－2‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎5．如图K－16－3，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，应用本课所学知识，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________________．‎ 图K－16－3‎ ‎6．如图K－16－4，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC.若AC＝2，AD＝1，则DB＝________．‎ 图K－16－4‎ ‎7．2017·杭州如图K－16－5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．‎ 图K－16－5‎ 三、解答题 ‎8．如图K－16－6所示，D是△ABC内一点，在△ABC外取一点E，使∠CBE＝∠ABD，∠BDE＝∠BAC.试说明：△ABC∽△DBE. 图K－16－6‎ 7‎ ‎ ‎ ‎9．如图K－16－7，D是 △ABC的边AB上一点，连接CD.若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．‎ 图K－16－7‎ ‎10．如图K－16－8所示，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.‎ 试说明：△ABD∽△CBE. 图K－16－8‎ ‎11．2018·滨州如图K－16－9，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.‎ 求证：(1)直线DC是⊙O的切线；‎ ‎(2)AC2＝2AD·AO.‎ 7‎ ‎ ‎ 图K－16－9‎ ‎12．如图K－16－10所示，△ABC是等边三角形，∠DAE＝120°.‎ ‎(1)试说明：△ABE∽△DCA；‎ ‎(2)试说明：BC2＝BE·CD；‎ ‎(3)若BE＝4，CD＝9，求等边三角形的边长．‎ 图K－16－10‎ 动点问题如图K－16－11，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，移动△DEF，并满足：点E在边BC上沿从B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于点M.‎ ‎(1)求证：△ABE∽△ECM.‎ ‎(2)探究：在△DEF运动的过程中，重叠部分△AEM能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．‎ 图K－16－11‎ 7‎ ‎ ‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] D　选项A中，∠A＝∠A′＝30°，∠B＝∠B′＝70°，故△ABC∽△A′B′C′；选项B中，∵∠A′＝56°，∠C′＝80°，∴∠B′＝44°.∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′；选项C中，∵∠B′＝44°，∠C′＝80°，∴∠A′＝56°.∵∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′；选项D中，∠C＝180°－∠A－∠B＝64°，∠B′＝180°－∠A′－∠C′＝100°.∵两个三角形中没有两对角相等，∴△ABC与△A′B′C′不相似．‎ ‎2．[解析] B　∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，‎ ‎∴AC＝4.‎ ‎3．[解析] C　①正确，因为每一个等腰直角三角形的三个角分别等于45°，45°，90°.②正确，因为有一个锐角相等，还有一个隐含条件，直角也相等．③不正确，因为可能是一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，显然这两个三角形不一定相似．④正确，因为100°的角只能是等腰三角形的顶角．‎ ‎4．[解析] B　如图，过点O作OE⊥AD于点E.‎ ‎∵BC切⊙O于点B，‎ ‎∴OB⊥BC，‎ ‎∴∠OBC＝∠OEA＝90°.‎ 又∵OC∥AD，‎ ‎∴∠EAB＝∠BOC，‎ ‎∴△AOE∽△OCB，∴＝.‎ ‎∵OC＝5，OA＝OB＝AB＝2，‎ 即＝，解得EA＝.‎ ‎∴AD＝2EA＝.故选B.‎ ‎5．答案不唯一，如∠B＝∠DEF ‎6．[答案] 3‎ ‎[解析] 由题意可知，△ABC∽△ACD，所以＝，即AC2＝AD·AB，所以4＝1×AB，‎ 所以AB＝4，所以DB＝3.‎ ‎7．[答案] 78　‎ 7‎ ‎ ‎ ‎[解析] 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC于点E，∴∠BAC＝∠DEC＝90°，‎ ‎∴△EDC∽△ABC，‎ ‎∴＝.在Rt△ABC中，由AB＝15，AC＝20，易知BC＝25，∴＝，故EC＝12.∴BE＝25－12＝13，∴△ABE的面积＝×△ABC的面积．∵△ABC的面积为×15×20＝150，∴△ABE的面积为×150＝78.‎ ‎8．解：∵∠ABD＝∠CBE，‎ ‎∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，‎ 即∠ABC＝∠DBE.‎ 又∵∠BAC＝∠BDE，∴△ABC∽△DBE.‎ ‎9．解：在△ACD和△ABC中，‎ ‎∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，∴＝，‎ 即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2 (负值已舍去)．‎ ‎10．[解析] 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明．‎ 解：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.‎ 又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.‎ ‎[点评] 本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形“三线合一”的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．‎ ‎11．证明：(1)如图，连接OC.‎ ‎∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.‎ 由题意可知OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，‎ ‎∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.‎ 又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠ADC＝∠OCD＝90°，‎ ‎∴直线DC是⊙O的切线．‎ ‎(2)连接BC.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADC＝90°.‎ 又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，‎ ‎∴＝，∴AC2＝AD·AB，‎ 7‎ ‎ ‎ ‎∴AC2＝2AD·AO.‎ ‎12．解：(1)∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠ACD＝∠EBA＝120°.‎ ‎∵∠DAE＝120°，‎ ‎∴∠EAB＋∠CAD＝∠DAE－∠BAC＝60°.‎ ‎∵∠BEA＋∠EAB＝∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠CAD＝∠BEA.‎ 又∵∠ACD＝∠EBA，∴△ABE∽△DCA.‎ ‎(2)∵△ABE∽△DCA，∴＝.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝CA，∴＝，‎ ‎∴BC2＝BE·CD.‎ ‎(3)∵BC2＝BE·CD，‎ 又BE＝4，CD＝9，∴BC2＝4×9，‎ 解得BC＝6(负值已舍去)，‎ ‎∴等边三角形的边长为6.‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.‎ ‎∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B.‎ 又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，‎ ‎∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM.‎ ‎(2)能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，‎ ‎∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.‎ 当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，‎ ‎∴EC＝AB＝5，‎ ‎∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.‎ 当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，‎ ‎∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，‎ 即∠CAB＝∠CEA.‎ 又∵∠C＝∠C，∴△EAC∽△ABC，‎ ‎∴＝，∴EC＝＝，‎ ‎∴BE＝6－＝.‎ 综上可知，BE的长为1或.‎ 7‎