九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.3利用两边及夹角证相似同步练习1（新版）苏科版.doc

‎ ‎ 第6章　图形的相似 ‎6.4　第3课时　利用两边及夹角证相似 知识点　利用两边及夹角证相似 命题角度1　判定两个三角形相似 ‎1．如图6－4－31，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，且AB＝9，AC＝6，AD＝3，BE＝7，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．‎ 解：相似．理由：∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，BE＝7，∴AE＝________，∴＝________＝________，＝________＝________，∴________＝________．又∵∠________＝∠________，∴△ADE∽△ABC.‎ 图6－4－31‎ ‎　　　图6－4－32‎ ‎2．2018·宜兴一模 已知△ABC如图6－4－32所示，则图6－4－33中与△ABC相似的是(　　)‎ 图6－4－33‎ 8‎ ‎ ‎ ‎3．如图6－4－34，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝________时，△AOC∽△BOD；当OA＝________时，△AOC∽△DOB.‎ 图6－4－34‎ ‎　　图6－4－35‎ ‎4．2017·潍坊 如图6－4－35，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)‎ ‎5．如图6－4－36所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，在△ADE中，AD＝4，AE＝.‎ 求证：△ADE∽△ABC.‎ 图6－4－36‎ ‎6．2017·南京期末 如图6－4－37，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，且AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC.‎ 图6－4－37‎ 8‎ ‎ ‎ 命题角度2　判定两个三角形相似的运用 ‎7．在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，＝，那么∠B的度数是(　　)‎ A．40° B．60° ‎ C．80° D．100°‎ ‎　图6－4－38‎ ‎8．如图6－4－38，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，则DE∶BC＝________．‎ ‎9．教材习题6.4第5题变式 如图6－4－39，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.‎ ‎(1)求证：△ACD∽△CBD；‎ ‎(2)求∠ACB的大小．‎ 图6－4－39‎ 图6－4－40‎ ‎10．教材练习第3题变式 如图6－4－40，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF＝3FD.则图中相似三角形的对数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎11．2017·随州 在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ ‎12．如图6－4－41所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.‎ ‎(1)写出图中的两对相似三角形(不得添加字母和辅助线)；‎ 8‎ ‎ ‎ ‎(2)请分别证明(1)中的两对三角形相似．‎ 图6－4－41‎ ‎13．如图6－4－42所示，在△ABC中，AD，BE是△ABC的高，连接DE，△DEC与△ABC相似吗？为什么？‎ 图6－4－42‎ ‎14．如图6－4－43，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG与线段DE，BC分别交于点F，G，且＝.‎ ‎(1)求证：△ADF∽△ACG；‎ ‎(2)若＝，求的值．‎ 图6－4－43‎ ‎15．如图6－4－44，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.‎ 8‎ ‎ ‎ ‎(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；‎ ‎(2)求∠ABD的度数．‎ 图6－4－44‎ 8‎ ‎ ‎ ‎/ 教 师 详 解 详 析 /‎ 第6章　图形的相似 ‎6.4　第3课时　利用两边及夹角证相似 ‎1．‎2　‎　　　　　　A　A ‎2．C ‎3．54　37.5‎ ‎4．答案不唯一，如：DF∥AC，∠DFB＝∠A，∠BDF＝∠ADE等 ‎[解析] ∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B，‎ 要使△FDB与△ADE相似，则还需一组角相等，如添加条件∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠ADE＝∠BDF，当然也可添加DF∥AC，若使用比例当作条件可添加：＝，＝.‎ ‎5．证明：∵AB＝6，AC＝5，AD＝4，AE＝，‎ ‎∴＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC.‎ ‎6．证明：∵AD·AC＝AE·AB，∴＝.‎ 在△ADE与△ABC中，∵＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎7．B　[解析] ∵在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝80°，∴∠F＝40°＝∠A.又∵＝，∴△ABC∽△FDE，∴∠B与∠D是对应角，故∠B＝∠D＝60°.故选B.‎ ‎8．1∶2　[解析] ∵AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，∴＝，＝，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.‎ ‎9．解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，‎ ‎∴∠ADC＝∠CDB＝90°.‎ 又∵＝，∴△ACD∽△CBD.‎ 8‎ ‎ ‎ ‎(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.‎ 在△ACD中，∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.‎ ‎10．C　[解析] 有三对相似三角形，它们分别是Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF.‎ 理由：设正方形的边长为4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，CF＝3a，‎ 在Rt△BCF中，BF＝＝5a，‎ 在Rt△ABE中，BE＝＝2 a，‎ 在Rt△DEF中，EF＝＝a.‎ ‎∵BE2＋EF2＝BF2，‎ ‎∴△BEF为直角三角形，且∠BEF＝90°.‎ ‎∵＝＝2，＝＝2，∴＝.‎ 又∵∠A＝∠D＝90°，‎ ‎∴Rt△ABE∽Rt△DEF，‎ 同理得Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF.‎ 故选C.‎ ‎11.或 ‎[解析] 当＝时，‎ ‎∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△AED∽△ABC，‎ 此时AE＝＝＝；‎ 当＝时，‎ ‎∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ 此时AE＝＝＝.‎ 故答案为或.‎ ‎12．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.‎ ‎(2)①证明△ABC∽△ADE如下：‎ ‎∵∠BAD＝∠CAE，‎ ‎∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，‎ 即∠BAC＝∠DAE.‎ 又∵∠ABC＝∠ADE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE. ‎ ‎②证明△ABD∽△ACE如下：‎ ‎∵△ABC∽△ADE，‎ ‎∴AB∶AD ＝AC∶AE. ‎ 8‎ ‎ ‎ 又∵∠BAD＝∠CAE，‎ ‎∴△ABD∽△ACE.‎ ‎13．[解析] 要证△DEC与△ABC相似，可先证明△CDA∽△CEB，得到＝，再由∠C＝∠C，证明△CDE∽△CAB.‎ 解：△DEC与△ABC相似．‎ 理由：∵AD，BE是△ABC的高，‎ ‎∴∠CDA＝∠CEB＝90°.‎ 又∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，‎ ‎∴＝，∴＝.‎ 又∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ABC.‎ ‎14．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C.‎ 又∵＝，∴△ADF∽△ACG.‎ ‎(2)∵△ADF∽△ACG，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝1.‎ ‎15．解：(1)∵AD＝BC＝，‎ ‎∴AD2＝＝.‎ ‎∵AC＝1，∴CD＝1－＝，‎ ‎∴AD2＝AC·CD.‎ ‎(2)∵AD2＝AC·CD，‎ ‎∴BC2＝AC·CD，即＝.‎ 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴＝.‎ 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD，‎ ‎∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.‎ 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，‎ ‎∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，‎ 解得x＝36°，∴∠ABD＝36°. ‎ 8‎