九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.5圆中的相似、三角形的重心同步练习（新版）苏科版.doc

‎ ‎ 第6章　图形的相似 ‎6.4　第5课时　圆中的相似、三角形的重心 知识点 1　圆中的相似 ‎1．如图6－4－55，△ABC的角平分线AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．△BAE∽△DBE B．△BAE∽△DAC C．△DBE∽△DAC D．△BAD∽△DAC 图6－4－55‎ ‎　　图6－4－56‎ ‎2．如图6－4－56，⊙O的弦AB，CD相交于点P.若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD的长为(　　)‎ A．6 B．‎12 C．8 D．不能确定 ‎3．2018·滨州 如图6－4－57，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB.‎ 求证：(1)直线DC是⊙O的切线；‎ ‎(2)AC2＝2AD·AO.‎ 9‎ ‎ ‎ 图6－4－57‎ ‎4．已知：如图6－4－58，AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径．‎ 求证：AB·AC＝AD·AE.‎ 图6－4－58‎ 知识点 2　三角形的重心 ‎5．三角形的重心是三角形的(　　)‎ A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 ‎6．如图6－4－59，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．6 D．12‎ 图6－4－59‎ ‎　　　图6－4－60‎ ‎7．如图6－4－60，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论正确的是(　　)‎ A．点G是△ABC的内心 B．BD＝2CE C．S△BGC＝2S△DGE D．S△BDG＝S△CEG 9‎ ‎ ‎ 图6－4－61‎ ‎8．如图6－4－61，若AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，则线段AD的长为________．‎ ‎9．如图6－4－62，在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，求△AEC的面积．‎ 图6－4－62‎ ‎10．如图6－4－63，在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为(　　)‎ A．8　　 B．‎4 　　 C．12　 　D．14‎ 图6－4－63‎ ‎　　　图6－4－64‎ ‎11．如图6－4－64，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G.若BC＝‎6 cm，则DE等于________ cm.‎ ‎12．2018·遵义 如图6－4－65，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E，连接DE.若DE＝3，则AD的长为________．‎ 图6－4－65‎ 9‎ ‎ ‎ ‎　　　图6－4－66‎ ‎13．如图6－4－66，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝18，点E在AC上且CE＝AC，连接BE，与AD交于点F.若BE＝15，则△DBF的周长是________．‎ ‎14．2017·姜堰期中 如图6－4－67，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F为△ABC的重心，AB＝6，则EF＝________．‎ 图6－4－67‎ ‎15．2017·聊城 如图6－4－68，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.‎ ‎(1)求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎(2)求证：△PBD∽△DCA；‎ ‎(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．‎ 图6－4－68‎ ‎16．如图6－4－69，已知点G是△ABC的重心，AG⊥GC.‎ ‎(1)若AC＝‎4 cm，求BG的长；‎ ‎(2)若△ABC的面积为‎9 cm2，求△GBC的面积．‎ 图6－4－69‎ 9‎ ‎ ‎ ‎17．如图6－4－70，已知矩形ABCD中，DE∥AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于点F，BF交AC于点G.‎ ‎(1)求证：点G是△ABE的重心；‎ ‎(2)已知＝，求证：∠BCG＝∠BGC.‎ 图6－4－70‎ 9‎ ‎ ‎ ‎/ 教 师 详 解 详 析 /‎ 第6章　图形的相似 ‎6.4　第5课时　圆中的相似、三角形的重心 ‎1．D ‎2．C　[解析] 连接AC，BD，则△PAC∽△PDB，∴＝，‎ ‎∴DP＝.‎ ‎∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴DP＝6，‎ ‎∴CD＝CP＋DP＝2＋6＝8.故选C.‎ ‎3．证明：(1)连接OC，‎ ‎∵AC平分∠DAB，‎ ‎∴∠DAC＝∠OAC.‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠OAC＝∠OCA，‎ ‎∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.‎ ‎∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.‎ ‎∵点C在⊙O上，∴直线DC是⊙O的切线．‎ ‎(2)连接BC，∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.‎ 又∵∠BAC＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，‎ ‎∴＝，∴AC2＝AD·AB，‎ ‎∴AC2＝2AD·AO.‎ ‎4．证明：∵AD是△ABC的边BC上的高，AE是△ABC外接圆的直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠ACE＝90°.‎ 又∵∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，‎ ‎∴AB∶AE＝AD∶AC，‎ ‎∴AB·AC＝AD·AE.‎ ‎5．A ‎6．B　[解析] 根据重心的性质，三角形的重心到一顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍，可直接求得结果．‎ ‎7．D　[解析] 根据三角形重心的定义和性质对各选项分析判断，利用排除法求解．‎ ‎8．6　[解析] ∵AD，BE是△ABC的中线，AD，BE相交于点F，FD＝2，∴点F是△ABC的重心，∴AF＝2FD＝2×2＝4，∴AD＝AF＋FD＝4＋2＝6.‎ ‎9．解：∵D是△ABC的重心，‎ ‎∴AD＝2DE，F为AC的中点，‎ ‎∴S△ADF＝2S△DEF＝4，‎ ‎∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.‎ 9‎ ‎ ‎ ‎10．B　[解析] ∵O是△ABC的重心，‎ ‎∴E是AC的中点，OE＝BE＝×6＝2.‎ ‎∵AD⊥BE，∴AE＝＝2，‎ ‎∴AC＝2AE＝2×2＝4.‎ 故选B.‎ ‎11．4　[解析] 连接AG并延长交BC于点N.∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN＝CN，DG＝EG，∴＝＝.∵BC＝‎6 cm，∴BN＝‎3 cm，∴DG＝‎2 cm，∴DE＝‎4 cm.‎ ‎12．2 　[解析] 连接BE，因为∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠ACB，所以∠DBE＝∠ACB.因为BD是直径，所以∠BED＝90°.又因为∠ABC＝90°，所以∠BED＝∠ABC，所以△BED∽△CBA，所以＝，得到EB＝6.Rt△BED中，根据勾股定理得BD＝3 .在Rt△ADB中，根据勾股定理得AD＝2 .‎ ‎13．24　[解析] 根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，又由CE＝AC，可知F是△ABC的重心，根据重心的性质，得BF＝BE＝10，DF＝AD＝6.在Rt△BDF中利用勾股定理求得BD＝8，进而得出△DBF的周长为24.‎ ‎14．1‎ ‎15．解：(1)证明：如图，连接OD.‎ ‎∵BC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.‎ ‎∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.‎ ‎∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，‎ ‎∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.‎ 又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．‎ ‎(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，‎ ‎∴∠ABD＋∠DCA＝180°.‎ 又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，‎ ‎∴∠PBD＝∠DCA.‎ ‎∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.‎ 又∵∠ABC＝∠ADC，‎ ‎∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.‎ 9‎ ‎ ‎ ‎(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10，‎ ‎∴OB＝OC＝OD＝5.‎ 又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 .‎ ‎∵△PBD∽△DCA，∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴PB＝＝.‎ ‎16．解：(1)如图，延长BG交AC于点D.‎ ‎∵G是△ABC的重心，‎ ‎∴BD为△ABC的中线．‎ 又∵AG⊥GC，‎ ‎∴GD为Rt△AGC斜边上的中线，‎ ‎∴GD＝AC.‎ 又∵G是△ABC的重心，‎ ‎∴BG＝2GD＝AC＝4 cm.‎ ‎(2)∵BD为△ABC的中线，‎ ‎∴S△CBD＝S△ABC＝ cm2.‎ ‎∵G是△ABC的重心，‎ ‎∴BD＝3GD，∴S△GBC＝S△CBD＝3 cm2.‎ ‎17．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BE，BC＝AD.‎ 又∵DE∥AC，‎ ‎∴四边形ACED是平行四边形，‎ ‎∴AF＝EF，AD＝CE.‎ ‎∵BC＝AD，∴BC＝CE，‎ ‎∴点G是△ABE的重心．‎ ‎(2)∵∠ABE＝90°，AF＝EF，‎ ‎∴BF＝AE＝AF.‎ ‎∵点G是△ABE的重心，‎ ‎∴BG＝BF＝AF.‎ ‎∵＝，∴BC＝AD＝AF，‎ ‎∴BC＝BG，‎ 9‎ ‎ ‎ ‎∴∠BCG＝∠BGC.‎ 9‎