26.3 第1课时 二次函数问题的实际应用
知识点 1 二次函数与运动路线问题
1.小斌在今年的学校秋季运动会跳远比赛中跳出了满意的一跳，如图26－3－1，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度随时间的变化情况，则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是( )
图26－3－1
A．0.71 s B．0.70 s
C．0.63 s D．0.36 s
2．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
知识点 2 二次函数与拱桥问题
3．2018·绵阳如图26－3－2是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，则水面宽度增加________m.
图26－3－2
4．如图26－3－3所示，一座大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．
图26－3－3
知识点 3 二次函数与商品销售问题
5．某商店经营儿童玩具，已知所获利润y(元)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y＝－x2＋24x＋2956，则获利最多为( )
A．3144元 B．3100元
C．144元 D．2956元
6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价( )
A．5元 B．10元
C．0元 D．3600元
7．某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m(件)
与每件的销售价格x(元)满足一次函数关系，其图象如图26－3－4所示，则该商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式为____________．
图26－3－4
8．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．2017·文登区期中某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图26－3－5)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
图26－3－5
A．50 m B．100 m
C．160 m D．200 m
10．2017·鞍山某网络经销商销售一款夏季时装，进价为每件60元，售价为每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该时装单价每降低1元，每天销售量增加5件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)在这30天内，哪一天的利润是6300元？
(3)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
11．2018·眉山传统节日——端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y＝
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？
(2)如图26－3－6，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元(利润＝出厂价－成本)．
图26－3－6
12．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图26－3－7(示意图)，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G.建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，则这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，则排球飞行的最大高度h(单位：米)的取值范围是多少(排球压线不算出界)?
图26－3－7
详解详析
1．D
2．A [解析] 当水流回落到地面时高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得5t2－30t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间是6 s．故选A.
3．(4 －4) [解析] 如图，建立平面直角坐标系，设x轴通过AB，y轴通过AB的中点O且通过点C，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB均可求出，为AB的一半2 m，抛物线顶点C的坐标为(0，2)．
通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2，代入A点坐标(－2，0)，得到a＝－0.5，所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋2，
当水面下降2 m，水面的宽度可转化为：当y＝－2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝－2与抛物线相交的两点之间的距离．
把y＝－2代入抛物线的表达式，得
－2＝－0.5x2＋2，解得x＝±2 ，所以水面宽度增加到4 m，则比原先的宽度增加了(4 －4)m.
4．36 [解析] 因为抛物线是轴对称图形，由题意知抛物线的对称轴为直线x＝18.又当x＝0时，y＝0，所以小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．
5．B
6．A [解析] 设每件需降价x元，每天获利y元，
则y＝(135－x－100)(100＋4x)，
即y＝－4(x－5)2＋3600.∵－4＜0，
∴当x＝5时，每天获得的利润最大．故选A.
7．y＝－x2＋150x－5000
8．B [解析] 由题意，抛物线的表达式为y＝at(t－9)，把(1，8)代入可得a＝－1，
∴y＝－t2＋9t＝－(t－4.5)2＋20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；
抛物线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确．
∵当t＝9时，y＝0，
∴足球被踢出9 s时落地，故③正确．
∵t＝1.5时，y＝11.25，故④错误．
∴正确的有②③.
故选B.
9．C [解析] 建立如图所示的直角坐标系，则点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，0.5)，点D的坐标为(0.2，0)，点F的坐标为(0.6，0)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x＋1)，把C(0，0.5)代入得a＝－0.5，
所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋0.5.
当x＝0.2时，y＝－0.5×0.22＋0.5＝0.48，
当x＝0.6时，y＝－0.5×0.62＋0.5＝0.32，
所以DE＝0.48，FP＝0.32，
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度＝2(DE＋FP)＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(m)，
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度＝100×1.6＝160(m)．
故选C.
10．解：(1)y＝5x＋30(1≤x≤30且x为整数)．
(2)根据题意，得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6300，
即x2－60x＋864＝0，
解得x＝24或x＝36(舍去)，
∴在这30天内，第24天的利润是6300元．
(3)根据题意，得w＝(130－x－60－4)(5x＋30)＝－5x2＋300x＋1980＝－5(x－30)2＋6480(1≤x≤30且x为整数)．
∵a＝－5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝30时，w有最大值为6480，
∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．
11．解：(1)∵34×6＝204＜280，∴李明用的天数超过6天．
由题意可知20x＋80＝280，
解得x＝10.
答：李明第10天生产的粽子数量为280只．
(2)由图象，得当0≤x≤10时，p＝2；
当10＜x≤20时，设p＝kx＋b，
把(10，2)，(20，3)代入，得
解得
∴p＝0.1x＋1.
①当0≤x≤6时，w＝(4－2)×34x＝68x，当x＝6时，w最大＝408；
②当6＜x≤10时，w＝(4－2)×(20x＋80)＝40x＋160，当x＝10时，w最大＝560；
③当10＜x≤20时，w＝(4－0.1x－1)×(20x＋80)＝－2x2＋52x＋240，
∵a＝－2＜0，
∴当x＝－＝13时，w最大＝578.
综上，当x＝13时，w有最大值，最大值为578，即第13天的利润最大，最大利润是578元．
12．解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，
设抛物线的关系式为y＝a(x－7)2＋3.2,
将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋3.2＝1.8，
解得a＝－，
∴排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y＝－(x－7)2＋.
(2)由题意当x＝9.5时，y＝－×(9.5－7)2＋≈3.02＜3.1，
故这次她可以拦网成功．
(3)设抛物线的关系式为y＝a(x－7)2＋h，
将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋h＝1.8，即a＝，
∴此时抛物线的关系式为y＝(x－7)2＋h.
根据题意，得
解得h≥3.025,
故排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.
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