北京市朝阳区2018～2019学年度第一学期高三年级期中统一检测
数学试卷（理工类）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把集合A解出来，然后求A∪B即可．
【详解】因为集合合 ，
所以，
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．
2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. -10 B. -2 C. 2 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行： ，
第二次运行：
第三次运行：
第四次运行：
此时 ，推出循环，输出输出.
故选C.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
3.设平面向量，，，，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．
【详解】向量 ， ，，
∴
=
故选A.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．
4.已知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指函数的单调性得出结论．
【详解】A. ，显然不成立；
B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；
同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；
D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；
故选D.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.
5.“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
观察两条件的互推性即可求解．
【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故応A.
6.已知函数，若（），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可知由可得
根据基本不等式可求的取值范围.
【详解】 若由，则 与矛盾；同理 也可导出矛盾，故 而
即
故选B
【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.
7.已知函数当时，方程的根的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数的图像，由图像可得结论.
【详解】画出函数的图像，
有图可知方程 的根的个数为3个.
故选C.
【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．
8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（ ）
A. 第404组 B. 第405组 C. 第808组 D. 第809组
【答案】A
【解析】
【分析】
求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.
【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为
则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组
选A.
【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.已知，，则_________，__________．
【答案】 (1). (2). --
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.
【详解】由题，，则
即答案为(1). (2).
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.
10.已知，满足则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）
设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值= 3
故答案为：3
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
11.已知函数满足下列条件：
①定义域为；
②函数在上单调递增；
③函数的导函数有且只有一个零点，
写出函数的一个表达式__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件，直接推出结果即可．
【详解】①定义域为；
②函数在上单调递增；
③函数的导函数有且只有一个零点，
满足条件一个函数可以为：．或+2等等．
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．
12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例解答即可.
【详解】根据平行线分线段成比例可得 而
故
即答案为.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.
13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
8.0
11.0
7.9
5.0
8.0
11.0
8.0
5.0
8.0
经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．
【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，
由，得ω=，所以函数的近似表达式
即答案为
【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.
14.从标有数字，，，（，且，，， ）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．
【答案】 (1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【解析】
【分析】
由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得
4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.
【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得
4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.
即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【点睛】本题考查归纳推理，属难题.
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.
（I）求的通项公式；
（II）若，求.
【答案】（I），.
（II）
【解析】
【分析】
（I）设为首项为，公比为（），则依题意，
，解得，，即可得到的通项公式；
（II）因为，利用分组求和法即可得到.
【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，
，解得，，
所以的通项公式为，.
（II）因为，
所以
【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.
16.已知函数.
（I）求的最小正周期及单调递增区间；
（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.
【答案】（I）最小正周期为,单调递增区间为，.
（II）的最小值为2
【解析】
【分析】
（I）根据二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f（x）的最小正周期及其单调递增区间；
II）由.可得.由此可求的最小值.
【详解】（I）由已知可得
.
所以最小正周期为.
令，.
所以，
所以，即单调递增区间为，.
（II）因为.
所以，
则，
所以，
当，即时，.
因为恒成立，所以，所以的最小值为2
【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．
17.在中，角，，的对边分别为，，，，，.
（I）求；
（II）求的面积.
【答案】证明见解析
（II）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；
（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.
【详解】证明：（I）因为，即，
又，为钝角，所以.
由，即，解得.
（II）在中，由知为钝角，所以.
，
所以
所以
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
18.已知函数（）
（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.
【答案】（I）；.
（II）“”是“有唯一零点”的充分不必要条件
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．
【详解】（I），
当时，，
当在内变化时，，的变化如下表：
-1
0
1
2
+
0
-
0
+
-4
↗
极大值1
↘
极小值0
↗
5
当时，；.
（II）若，.
当变化时，，的变化如下表：
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
，因为，所以.即.
且，所以有唯一零点.
所以“”是“有唯一零点”的充分条件.
又时，当变化时，，的变化如下表：
0
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
又，，.
所以此时也有唯一零点.
从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件
【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．
19.已知函数（）.
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）试判断函数的单调性并证明；
（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.
【答案】（I）.
（II）函数在和上单调递增，在上单调递减.
（III）函数的最大值为.
【解析】
【分析】
函数的定义域为，且.
（I）易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；
（II）令，得，，分类讨论可得函数的单调性，
（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.
此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.
【详解】函数的定义域为，
且.
（I）易知，
所以曲线在点处的切线方程为.
即.
（II）令，得，
①当时，.
当变化时，，变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
②当时，恒成立.
所以函数在上单调递增.
③当时，.
当变化时，，变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.
此时，函数的极小值为.
所以.
令得.
当变化时，，变化情况如下表：
+
0
-
↗
极大值
↘
所以函数的最大值为.
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.
（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；
（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；
（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.
【答案】（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.
（II）
（III），
【解析】
【分析】
（I）根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.
（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，
因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；
（III）对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.
【详解】（I）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.
（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，
因此数列，，…，为，，…，2
下面证明
假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然
所以.
由题意可得，，
，…，，…，.
所以
故
即
（III）对，表示，，…，中大于等于的个数
由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于
故
由于，故当时，
即.
接下来证明对，
，则，即1,2，…，，从而
故，
从而1,2，…，，故，从而，故有
设，即，根据集合的定义，有.
由知，1,2，…，，由的定义可得，
而由，故
因此，对，
【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.
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