福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷
命题：张文军
审核：江 泽
高三文科数学
（满分：150分，时间：120分钟）
说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。
第Ⅰ卷 共60分
一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.设集合则（***）
A． B． C． D．
2.命题“，”的否定是（***）
A．， B．，
C．， D．，
3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（***）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（***）
A． B． C． D．
5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（***）
A. B.
C. D.
6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（***）
A. B. C. D.
7.函数的部分图象大致为（***）
A B C D
8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（***）
A． B． C. D．
9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（***）
A．
B．
C． D．
10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（***）
A． B． C． D．
11.在中，，，点在边上，且，则（***）
A． B． C． D．
12.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（***）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷 共90分
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 直线与直线平行，则实数的值为*** ．
14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为*** ．
15.设函数则函数的零点的个数是*** ．
16.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为*** ．
三、解答题（要求写出过程，共70分）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）已知的面积为，且角的对边分别为，若，，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前项和满足.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和为.
20.（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上．
22.（本小题满分12分）
函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，求证：.
福建师大附中2018-2019学年下学期期中考试卷
高三文科数学参考答案
一、 选择题：
1~6 BCACBA 7~12 CBDACD
二、 填空题：
13. -1 14. 15. 2 16.
三、 解答题：
17.解析：（Ⅰ）在等差数列中，因为成等比数列，
所以，即，
解得. 因为， 所以，
所以数列的通项公式. ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以.
………………12分
18. 解析：（Ⅰ）
∴函数的最大值为.
（Ⅱ）由题意，化简得.
，，，.
由得，又，
或.
在中，根据余弦定理得
.
.
19.解析：（Ⅰ）当时,;
当时,
又适合上式
故数列的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
从而数列的前项和为
……………12分
20. 解析：（Ⅰ）由，得：，∴，即，
∴曲线的直角坐标方程为. ……2分
由，得，即，
∴直线的普通方程为.……5分
（Ⅱ）将代入，得： ，
整理得：，
由，即，解得：.
设是上述方程的两实根，则， ……7分
又直线过点，由上式及的几何意义得
，解得：或，都符合，因此实数的值为或或. 分
21.解析：（Ⅰ）设焦距为，由已知，，．
，∴椭圆的标准方程为．……………4分
(Ⅱ)证明：设，
联立得，
依题意，，化简得，①
，………………………6分
，
若，则，即，
∴，
∴，
即，
化简得，② …9分
由①②得．
∴点在定圆上．（没求的范围不扣分）……12分
22. 解：
（Ⅰ）…1分
① 当a≤0时，，则在上单调递减；
…………………3分
② 当时，由解得，由解得．
即在上单调递减；在上单调递增；
综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是． ………5分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，
则．………………………6分
要证≥，即证≥，
即证+≥0．……8分
构造函数，则，
由解得，由解得，
即在上单调递减；在上单调递增；
∴ ，
即≥0成立．从而≥成立．…………12分
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