福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷
命题人: 黄晓滨
审核人：江 泽
数学 (理科)
本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.
第I卷 共60分
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合 A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B={x|2x＜4}，则 A∪B＝ ( **** )
A. R B. ∅ C. {x|x≤1} D. {x|x＞2}
2.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点在( **** )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知命题：“，都有成立”，则命题为（**** ）
A．，有成立 B．，有成立
C．，有成立 D．，有成立
4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(**** )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
6. 设，则的大小关系为（**** ）
A． B． C. D．
7.记不等式组解集为,若,则实数的最小值是( **** )
A．0 B．1 C．2 D．4
8.如图，在平面四边形中，，，，. 若点为边上的动点，则的最小值为（**** ）
A． B． C． D．
9.已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象大致为( **** )
A.
B.
C.
D
10.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（**** ）
11.已知函数若方程在上有且只有
四个实数根，则实数的取值范围为（ **** ）
A. B. C. D.
12.已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为（****）
A． B． C．或 D．或
第Ⅱ卷 共90分
二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.
13.已知向量，的夹角为，，，则__****__.
14．已知满足约束条件若目标函数的最大值为7，
则的最小值为__****__.
15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有（）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．
甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.
16．在数列中，若存在一个确定的正整数T，对任意满足，则称是周期数列，T叫做它的周期.已知数列满足，，若数列的周期为3，则的前100项的和为 **** .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
如图，在中, ,,点在边上, , ,为垂足.
(Ⅰ)若的面积为,求的长;
(Ⅱ)若,求的大小.
18.(本小题满分12分）
已知数列的前和为，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
19.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，
求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知函数 （ ）.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
21. （本小题满分12分）
函数，在一个周期内的图象如图所示, 为图象的最高点, 、为图象与轴的交点,且为正三角形.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位得到函数，若设图象在轴右侧第一个最高点为，试问图象上是否存在点，使得，若存在请求出满足条件的点的个数，若不存在，说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的极值情况；
（Ⅱ）若，求的值．
福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答
数学 (理科)
一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA
二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.
13. , 14． 7 15． 16．67
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
(Ⅰ)由已知得， 又，得……………3分
在中，由余弦定理得
，
所以的长为 ……………6分
(Ⅱ)因为 ……………8分
在中，由正弦定理得，又, ……………10分
得，……………11分 解得,所以即为所求. ……………12分
18.(本小题满分12分）
解:（Ⅰ） ， ．………………………………1分
当时，，得．………………………………2分
当时，，
，………………………………3分
，即，
．………………………………4分
数列是等差数列，且首项为，公差为2，………………………………5分
．………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
，——①………………………………7分
，——②………………………………8分
①–②得………………………………9分
，………………………………10分
化简得．…………………12分
19.（本小题满分12分）
解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，
对于曲线,,则曲线的极坐标方程为
(2)由(1)得,，
因为，则
20.（本小题满分12分）
解：（1）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝
所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，
又f(0)＝f()＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤}. ....................................6分
（2）
①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，
当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2. .................................7分
②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分
③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，
当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾. .............11分
综上所述， a的取值范围是[2，＋∞). …...................12分
21. （本小题满分12分）
由已知得: ………2分
∵为图象的最高点，∴的纵坐标为,又∵为正三角形，所以…………3分
∴可得, 即 得…………4分,
∴…………5分,
（Ⅱ）由题意可得,…………7分
法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点是存在的，而且有两个………8分
注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.
法二：由得，即，
即，由此作出函数及图象，由图象可知满足条件的点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)
法三：由得，即，即，问题转化为研讨函数零点个数。∵，，当时，恒成立，从而说明函数在中是单调递增函数………10分，
又，，故存在，使得从而函数在区间单调递减，
在区间单调递增………11分 又，，，由零点存在定理得:
函数在区间和区间上各有一个零点…12分
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 1分
． 因为，由得，或．
①当时，，单调递增，故无极值．2分
②当时，．,,的关系如下表：
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故有极大值，极小值．4分
③当时，．,,的关系如下表：
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故有极大值，极小值．5分
综上：当时，有极大值，极小值；
当时，无极值；
当时，有极大值，极小值．6分
（Ⅱ）令，则．
（i）当时，，
所以当时，，单调递减，
所以，此时，不满足题意．8分
（ii）由于与有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知：
①当时，在上单调递增，又，
所以当时，；当时，．
故当时，恒有，满足题意．9分
②当时，在单调递减，
所以当时，，
此时，不满足题意．10分
③当时，在单调递减，
所以当时，，
此时，不满足题意． 11分 综上所述：． 12分
微信/支付宝扫码支付