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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年高三上学期协作校第二次考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（是虚数单位），则的实部为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6．在中，，，分别是角，，的对边，，则角（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示程序框图，输出的（ ）
A．25 B．9 C．17 D．20
8．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，则（ ）
A．在单调递增，其图象关于直线对称
B．在单调递增，其图象关于直线对称
C．在单调递减，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
11．已知函数，且，则实数的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．4 B． C．2 D．3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为__________．
14．若，满足约束条件，则的最小值为__________．
15．已知，则__________．
16．直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知正项等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
年龄
28
32
38
42
48
52
58
62
收缩压
（单位）
114
118
122
127
129
135
140
147
其中：，，，；
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（，的值精确到）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？
19．（12分）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合）．设直线，的斜率分别为，，求证：，为定值．
20．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2），，求的取值范围．
理科数学答 案
一、选择题．
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】B
12．【答案】A
二、填空题．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
三、解答题．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列的公比为，由已知， 由题意得，
∴． 解得，．因此数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）；（3）收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．
【解析】（1）
．
（2），
．
∴．
．
∴回归直线方程为．
（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为
，
∵．∴收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意得，∴抛物线方程为．
（2）设，，直线的方程为，代入抛物线方程得．
∴，，，
∴，
∴，是定值．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，是的中点，∴，
∵平面，∴平面平面，
∴平面，∴．
又∵在正方形中，，分别是，的中点，∴．
又，∴平面．
（2）取中点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
设二面角的平面角为，观察可知为钝角，，
∴，故二面角的余弦值为．
21．【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）当时，，则．
令，得．
当时，；当时，．
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∴当时，函数取得最小值，其值为．
（2）由（1）得：恒成立．
①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．
设，则，在区间上，，是减函数，
在区间上，，是增函数，即最小值为．
于是当时，条件满足．
②当时，，，即，条件不满足．
综上所述，的取值范围为．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
∴曲线的直角坐标方程为．
∵直线的参数方程为（为参数），∴．
∴直线的极坐标方程为．
（2）将代入曲线的极坐标方程得，∴点的极坐标为．
将代入直线的极坐标方程得，解得．
∴点的极坐标为，∴．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，∴，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）∵，
∵，有成立，∴只需，解得，
∴的取值范围为．
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