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2018-2019学年度上学期高三年级第四次模拟考试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D .
2. 已知平面向量，，且，则=( )
A. –3 B. –1 C. 1 D . 3
3. 设是等差数列的前项和，若，则( )
A．1 B．5 C．7 D． 9
4. 函数的定义域为（ ）
A.( ,1) B. (,∞) C.（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）
5. 设a∈R ，则“a＝1”是“函数在定义域上是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
6. 函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ）
x
A
B
P
y
O
A. B. C. D.
1. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若； B.若；
C.若； D.若；
C
O
A
B
D
第9题图
3. 如图，是圆的直径，是圆上的点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. （ ）
A． B． C． D．
5. 已知等比数列中，，，（其中为虚数单位，，且），则数列的前2019项的和为（ ）
A． B． C． D．
6. 直线（m为实常数）与曲线E：的两个交点A，B的横坐标分别为，且，曲线E在点A，B处的切线PA，PB与y轴分别交于点M，N，有下面5个结论：
①的取值集合为;
②△PAB可能为等腰三角形；
③若直线与轴的交点为Q，则；
④当是函数的零点时，（O为坐标原点）取得最小值.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
1. 抛物线的准线方程为_____________
2. 设数列的通项公式为，则其前5项的和为______
3. 正方体的棱长为2，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围为______________
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则当取得最大值时，角A的值为______________
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
5. （本小题满分12分）设函数，
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）保持函数图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象。在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
1. （本小题满分12分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。
（Ⅰ）第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；
（Ⅱ）第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）第三小组进行实验，到成功了四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率。
2. （本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足。
（Ⅰ）证明：；
B
A
M
P
N
B1
C
C1
A1
（Ⅱ）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为时，试求直线PM与平面ABC所成角的正弦值大小。
1. （本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的右焦点为F(2,0)，过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为（1，) ．
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为1，试判断直线 l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.
2. （本小题满分12分）已知关于的函数，
（I）试求函数的单调区间；
（II）若在区间内有极值，试求a的取值范围；
（III）时，若有唯一的零点，试求.
（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）
请考生在第 （22） ~ （23） 二题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分.做答时， 用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中.
1. （本小题满分10分） 选修4-4： 坐标系与参数方程
在极坐标系中， 已知圆C的圆心C()， 半径r =．
（Ⅰ） 求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ） 若 α ∈ ， 直线的参数方程为为参数）， 直线交圆C于A、 B两点， 求弦长|AB|的取值范围．
2. （本小题满分10分） 选修4-5： 不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
数学（理）试题
参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
A
D
D
C
B
C
D
B
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 129 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）
……………………4分
所以函数的最小正周期为………………6分
（Ⅱ）由于，故由正弦定理得，由于，所以，又在锐角△ABC中，所以……………8分
由（Ⅰ）知，所以，……………10分
又因为，所以，从而，所以的取值范围为……………12分
18.解（Ⅰ）该小组恰有两次失败的概率……………4分
（Ⅱ）由题可知X的取值集合为。……………1分
则
……………6分
故其分布列为
X
0
2
4
P
，即所求数学期望为……………8分
（Ⅱ）由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有个基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有个基本事件
从而由古典概型可得所求概率为……………4分
可以根据实际情况适当赋分。如第一问2分，加重第二问的合理赋分。
19. 解：以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则,
M是CC1的中点，N是BC的中点
,设平面PMN的一个法向量为，则令，则
又平面ABC的一个法向量为，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为
解得，此时
所以直线PM与平面ABC所成角的正弦值为。
20. 解：（1）设，则，两式相减得
，…………2分
MN的中点坐标为（1，) ，且M、N、F、Q共线
，…………4分
椭圆C的方程为…………6分
（2） 设直线AB:，联立方程得：
设则 …………8分
，…………10分
直线AB：，所以直线AB过定点……11分
又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则
适合上式，所以直线AB过定点……12分
21.解：（I）由题意的定义域为
（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；
（ii）若，则由得，
时，，时，，
所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；-------------4分
（II）方法一
所以的定义域也为，且
令 (*)
则 (**)
（1）当时, 恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内存在唯一一个零点，由于为上的单调递增函数，所以在区间内，
从而在，所以此时在区间内有唯一极值且为极小值，适合题意
（2）当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.
综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为.-------8分
(III) ,由（II）且知时, .
由(**)式知，。
由于，所以，
又由于，
所以
亦即，
由
从而得
所以，
从而，又因为有唯一的零点，所以 即为,
消去a,得
时令,
则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,
且
----------------------------------12分
22. .解：（Ⅰ）由得，直角坐标,
所以圆的直角坐标方程为,
由得，圆的极坐标方程为
………………（5分）
（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程,
得 ，则,
设，对应参数分别为，，则
，,
，
因为，所以所以,
所以的取值范围为.………………（10分）
23解：（Ⅰ）由得，∴，即，
∴，∴。………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，
则，
∴的最小值为4，故实数的取值范围是。………………（10分）
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