九年级数学下册第6章图形的相似本章中考演练同步练习（新版）苏科版.doc

‎ ‎ 第6章 图形的相似 本章中考演练 一、选择题　　　　　　　　　　‎ ‎1．2018·广东在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．2017·连云港如图6－Y－1，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(　　)‎ 图6－Y－1‎ A.＝ 　B.＝ ‎ C.＝ 　D.＝ ‎3．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(　　)‎ A．(‎2m，2n)‎ B．(‎2m，2n)或(－‎2m，－2n)‎ C．(m，n)‎ D．(m，n)或(－m，－n)‎ ‎4．2016·盐城如图6－Y－2，点F在▱ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(　　)‎ 8‎ ‎ ‎ 图6－Y－2‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎5．2018·绍兴学校门口的栏杆如图6－Y－3所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝‎4 m，AB＝‎1.6 m，CO＝‎1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)‎ 图6－Y－3‎ A．‎0.2 m　B．‎0.3 m　C．‎0.4 m　D．‎‎0.5 m ‎6．2016·安徽如图6－Y－4，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　)‎ 图6－Y－4‎ A．4 B．‎4 C．6 D．4 ‎7．2018·泰州如图6－Y－5，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是(　　)‎ 图6－Y－5‎ A．线段PQ始终经过点(2，3)‎ B．线段PQ始终经过点(3，2)‎ C．线段PQ始终经过点(2，2)‎ D．线段PQ不可能始终经过某一定点 ‎8．2018·扬州如图6－Y－6，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是(　　)‎ 图6－Y－6‎ 8‎ ‎ ‎ A．①②③　　B．①　　C．①②　　D．②③‎ 二、填空题 ‎9．2017·临沂如图6－Y－7，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝________．‎ 图6－Y－7‎ ‎10．2018·连云港如图6－Y－8，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积的比为________．‎ 图6－Y－8‎ ‎11．2018·南充如图6－Y－9，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．‎ 图6－Y－9‎ ‎12．2018·连云港如图6－Y－10，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF，已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为________．‎ 图6－Y－10‎ 三、解答题 ‎13．2018·杭州如图6－Y－11，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.‎ ‎(1)求证：△BDE∽△CAD；‎ ‎(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．‎ 图6－Y－11‎ 8‎ ‎ ‎ ‎14．2018·南京如图6－Y－12，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.‎ ‎(1)求证：△AFG∽△DFC；‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．‎ 图6－Y－12‎ ‎15．2018·徐州改编如图6－Y－13①，一副三角尺满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°.‎ 操作：将三角尺DEF的直角顶点E放置于三角尺ABC的斜边AC上，再将三角尺DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q.在旋转过程中：‎ ‎(1)如图②，当＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；‎ ‎(2)如图③，当＝2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；‎ ‎(3)根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当＝m时，EP与EQ满足的数量关系式为________，其中m的取值范围是________．(直接写出结论，不必证明)‎ 图6－Y－13‎ 8‎ ‎ ‎ 详解详析 ‎1．[解析] C　因为D，E分别是边AB，AC的中点，故DE是△ABC的中位线，且DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，且相似比是，它们的面积比是相似比的平方，等于.故选C.‎ ‎2．[解析] D　由相似三角形的性质可知：相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．故A，B，C不正确，D正确．‎ ‎3．[解析] B　通过位似把△AOB放大到原来的两倍，则对应点的横、纵坐标分别乘2或－2，故点P(m，n)的对应点的坐标为(‎2m，2n)或(－‎2m，－2n)．‎ ‎4．[解析] C　∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥DC，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，‎ ‎∴与△AEF相似的三角形有2个．‎ 故选C.‎ ‎5．[解析] C　由AB⊥BD，CD⊥BD可得AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，∴CD＝0.4，故选C.‎ ‎6．[解析] B　∵BC＝8，AD是中线，∴CD＝4.‎ 在△CBA和△CAD中，‎ ‎∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，‎ ‎∴△CBA∽△CAD，∴＝，‎ ‎∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，‎ ‎∴AC＝4 (负值已舍去)．‎ 故选B.‎ ‎7．[解析] B　如图，连接OA交PQ于点C，过点C作CD∥AB，交y轴于点D.∵A(9，6)，∴AB＝9，OB＝6.∵AB∥OP，∴△OPC∽△AQC，∴＝＝，∴＝.∵CD∥AB，∴△ODC∽△OBA，∴＝＝＝，∴CD＝3，OD＝2，∴C(3，2)，∴线段PQ始终经过点(3，2)．‎ ‎8．[解析] A　由题意，得＝＝，∠BAE＝∠CAD＝135°，∴△BAE∽△CAD，故①正确；‎ ‎∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA.‎ 又∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，‎ 8‎ ‎ ‎ ‎∴＝，∴MP·MD＝MA·ME，故②正确；∵＝，∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∴∠CPA＝90°.易知∠CAE＝90°，∴∠CPA＝∠CAM，而∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，＝，∴CP·CM＝CA2＝2CB2，故③正确．故选A.‎ ‎9．[答案] 4‎ ‎[解析] ∵AB∥CD，∴＝＝，即＝，‎ 解得AO＝4.故答案为4.‎ ‎10．[答案] 1∶9‎ ‎[解析] 由AD∶DB＝1∶2，得AD∶AB＝1∶3.又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以＝()2＝.‎ ‎11．[答案] ‎[解析] ∵BF平分∠ABC，DF∥BC，‎ ‎∴∠ABF＝∠CBF＝∠DFB，＝，∴DF＝BD＝2，＝，∴DE＝，∴EF＝DF－DE＝.‎ ‎12．[答案] 2‎ ‎[解析] 设AB＝‎2a，BC＝2b.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠DAG＋∠AGD＝90°.又∵AG⊥GF，∴∠AGD＋∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△DAG∽△CGF，∴＝，∴＝，∴a2＝2b2，而AC2＝(‎2a)2＋(2b)2＝()2＝6，∴‎4a2＋‎2a2＝6，解得a＝1(负值舍去)，∴AB＝2.‎ ‎13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.‎ ‎∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC＝90°.‎ ‎∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴△BDE∽△CAD.‎ ‎(2)∵BC＝10，AD为BC边上的中线，‎ ‎∴BD＝CD＝5.‎ ‎∵AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝＝12.‎ ‎∵△BDE∽△CAD，∴＝，‎ 即＝，故DE＝.‎ ‎14．解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠CDF＋∠ADF＝90°.‎ ‎∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，‎ ‎∴∠DAF＋∠ADF＝90°，‎ ‎∴∠DAF＝∠CDF.‎ ‎∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠DCF＋∠DGF＝180°.‎ 8‎ ‎ ‎ 又∵∠AGF＋∠DGF＝180°，‎ ‎∴∠AGF＝∠DCF.∴△AFG∽△DFC.‎ ‎(2)如图，连接CG.‎ ‎∵∠CDG＝90°，∴CG为⊙O的直径．‎ ‎∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，‎ ‎∴△ADE∽△FDA，‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∵△AFG∽△DFC，∴＝，‎ ‎∴＝.‎ 在正方形ABCD中，AD＝CD，‎ ‎∴AG＝AE＝1，DG＝AD－AG＝4－1＝3，‎ ‎∴CG＝＝＝5，‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎15．解：(1)EP＝EQ.‎ 证明：如图①，连接BE.根据＝1知E是AC的中点．由等腰直角三角形的性质，得BE＝CE，∠PBE＝∠C，∠DEF＝∠BEC＝90°，∴∠DEF－∠BEQ＝∠BEC－∠BEQ，‎ 即∠BEP＝∠CEQ，‎ ‎∴△BEP≌△CEQ，‎ ‎∴EP＝EQ.‎ ‎(2)EP∶EQ＝1∶2.如图②，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，‎ ‎∴∠EMP＝∠ENC＝∠MEN＝90°，‎ ‎∴∠MEP＋∠PEN＝∠PEN＋∠NEQ＝90°，‎ ‎∴∠MEP＝∠NEQ，‎ 8‎ ‎ ‎ ‎∴△MEP∽△NEQ.‎ 易得Rt△AME∽Rt△ENC，∴EP∶EQ＝EM∶EN＝EM∶NC＝EA∶CE＝1∶2.‎ ‎(3)过E点作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N.‎ ‎∵在四边形PEQB中，∠B＝∠PEQ＝90°，‎ ‎∴∠EPB＋∠EQB＝180°.‎ 又∵∠EPB＋∠MPE＝180°，‎ ‎∴∠MPE＝∠NQE，‎ ‎∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴＝.‎ 易得Rt△AME∽Rt△ENC，‎ ‎∴＝m＝＝，∴＝，‎ 即EP与EQ满足的数量关系式为EP∶EQ＝1∶m，‎ 其中0＜m≤2＋(当m＞2＋时，EF与BC不会相交)．‎ 8‎