九年级数学下册第7章锐角三角函数专题训练（五）应用锐角三角函数解决问题归类同步练习（新版）苏科版.doc

专题训练(五)　应用锐角三角函数解决问题归类 ‎►　类型之一　解直角三角形在斜三角形中的应用 ‎1．2018·内江如图5－ZT－1是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为‎11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为‎18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝.求灯杆AB的长度．‎ 图5－ZT－1‎ ‎►　类型之二　解直角三角形在正方形中的应用 ‎2．如图5－ZT－2，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG∥CF交DE于点G.‎ ‎(1)求证：△DCF≌△ADG；‎ ‎(2)若E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．‎ 图5－ZT－2‎ 7‎ ‎►　类型之三　解直角三角形在测量物体高度中的应用 ‎3．2018·达州在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图5－ZT－3，用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进‎4米至B处，测得雕塑顶端点C的仰角为45°.该雕塑有多高？(测角仪的高度忽略不计，结果不取近似值)‎ 图5－ZT－3‎ ‎4．数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图5－ZT－4(示意图)，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC＝1∶10(即EF∶CE＝1∶10)，学生小明站在离升旗台水平距离为‎35 m(即CE＝‎35 m)处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα＝，升旗台高AF＝‎1 m，小明身高CD＝‎1.6 m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．‎ 图5－ZT－4‎ ‎►　类型之四　解直角三角形在测量距离中的应用 ‎5．2017·邵阳如图5－ZT－5所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达点A 时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR＝ ‎40 km，仰角是 30° .n 秒后，火箭到达点B，此时仰角是 45°， 则火箭在这 n 秒中上升的高度为________km.‎ 图5－ZT－5‎ ‎►　类型之五　解直角三角形在航海问题中的应用 ‎6．如图5－ZT－6，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处之间的距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 7‎ 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度．(结果保留根号)‎ 图5－ZT－6‎ ‎7．2018·利州区一模如图5－ZT－7，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为‎4 km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距‎20 km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿航线l自东向西航行至观测点A的正南方向的E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．(结果精确到‎0.1 km，参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49)‎ 图5－ZT－7‎ ‎►　类型之六　解直角三角形在坡度、坡角问题中的应用 ‎8．如图5－ZT－8，建筑物AB后有一座假山，其坡度i＝1∶，山坡上点E处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物的水平距离BC＝‎25米，与凉亭的距离CE＝‎20米，某人从建筑物顶端测得点E的俯角为45°，求建筑物AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)‎ 图5－ZT－8‎ 7‎ 详解详析 ‎1．解：如图，过点B作BH⊥DE，垂足为H，过点A作AG⊥BH，垂足为G.‎ ‎∵BH⊥DE，∴∠BHD＝∠BHE＝90°.‎ 在Rt△BHD中，tanα＝＝6，∴BH＝6DH.在Rt△BHE中，tanβ＝＝，‎ ‎∴BH＝EH，‎ ‎∴8DH＝EH.‎ ‎∵DE＝18，DE＝DH＋EH，‎ ‎∴9DH＝18，‎ ‎∴DH＝2，‎ ‎∴BH＝12.‎ ‎∵∠BHD＝∠AGH＝∠ACH＝90°，‎ ‎∴四边形ACHG为矩形，‎ ‎∴GH＝AC＝11，∠CAG＝90°，‎ ‎∴BG＝BH－GH＝12－11＝1.‎ ‎∵∠BAC＝120°，∠CAG＝90°，‎ ‎∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°，‎ ‎∴在Rt△AGB中，AB＝2BG＝2.‎ 答：灯杆AB的长度为2米．‎ ‎2．[解析] (1)利用正方形的性质得两三角形的斜边相等，再根据同角的余角相等得到∠1＝∠3.运用AAS证明Rt△DCF与Rt△ADG全等；(2)中的锐角三角函数可利用全等三角形对应角相等，将α转化成与之相等的∠ADE，然后放在Rt△ADE中应用边角关系求出正确结果．‎ 解：(1)证明：如图．‎ ‎∵CF⊥DE，‎ ‎∴∠DFC＝∠CFG＝90°.‎ ‎∵AG∥CF，‎ ‎∴∠AGD＝∠CFG＝90°，‎ ‎∴∠2＋∠3＝90°.‎ 在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠2＋∠1＝90°，‎ ‎∴∠1＝∠3.‎ 7‎ 又∵DC＝AD，∠DFC＝∠AGD＝90°，‎ ‎∴△DCF≌△ADG.‎ ‎(2)∵E是AB的中点，∴AD＝AB＝2AE.‎ 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，‎ ‎∴DE＝AE.‎ ‎∵△DCF≌△ADG，∴∠2＝∠DCF＝α，‎ ‎∴sinα＝＝＝.‎ ‎3．解：设雕塑的高CD为x米．‎ 在Rt△ACD中，AD＝＝x.‎ 在Rt△BCD中，BD＝＝x.‎ 根据题意，得AD－BD＝4，即x－x＝4.‎ 解得x＝2 ＋2.‎ 答：雕塑的高CD为(2 ＋2)米．‎ ‎4．解：如图，过点D作DG⊥AE于点G，‎ 则∠BDG＝α，‎ 易知四边形DCEG为矩形，‎ ‎∴DG＝CE＝35 m，EG＝CD＝1.6 m.‎ 在Rt△BDG中，BG＝DG·tanα＝35×＝15(m)，‎ ‎∴BE＝15＋1.6＝16.6(m)．‎ ‎∵斜坡FC的坡比iFC＝1∶10，CE＝35 m，‎ ‎∴EF＝35×＝3.5(m)．‎ ‎∵AF＝1 m，‎ ‎∴AE＝AF＋EF＝1＋3.5＝4.5(m)，‎ ‎∴AB＝BE－AE＝16.6－4.5＝12.1(m)．‎ 答：旗杆AB的高度为12.1 m.‎ ‎5．[答案] (20 －20) ‎ ‎[解析] 在Rt△ALR中，根据AR＝‎40 km，∠ARL＝30°，求出AL＝‎20 km，LR＝‎20 km.在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝‎20 km，所以火箭在这 n 秒中上升的高度AB＝BL－AL＝(20 －20)km.‎ ‎6．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则△BCH是等腰直角三角形．‎ 7‎ 设CH＝x海里，‎ 则BH＝x海里，AH＝CH÷tan∠CAH＝x海里．‎ ‎∵AB＝200海里，∴x＋x＝200，‎ ‎∴x＝＝100(－1)，‎ ‎∴BC＝x＝100(－)．‎ ‎∵两船均行驶4小时相遇，‎ ‎∴可疑船只航行的平均速度为100(－)÷4＝25(－)海里/时．‎ 答：可疑船只航行的平均速度是25(－)海里/时．‎ ‎7．解：在Rt△BDF中，‎ ‎∵∠DBF＝60°，BD＝4 km，‎ ‎∴BF＝＝8 km.‎ ‎∵AB＝20 km，‎ ‎∴AF＝20－8＝12 (km)．‎ ‎∵∠AEF＝∠BDF，∠AFE＝∠BFD，‎ ‎∴△AEF∽△BDF，‎ ‎∴＝，即＝.‎ 解得AE＝6.‎ 在Rt△AEC中，CE＝AE·tan74°≈20.9 km.‎ 故这艘轮船的航行路程CE的长度约是20.9 km.‎ ‎8．解：如图，过点E分别作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，EN⊥AB于点N，则四边形BFEN为矩形，∴NE＝BF，BN＝EF.‎ ‎∵建筑物AB后有一座假山，其坡度i＝1∶，‎ ‎∴设EF＝x米，则FC＝x米．‎ 在Rt△CEF中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝CE2，∴x2＋(x)2＝400，‎ 解得x＝10，(负值已舍去)则FC＝10 米．‎ ‎∵BC＝25米，∴NE＝BF＝(25＋10 )米．‎ 在Rt△ANE中，由题意知，∠AEN＝45°，‎ ‎∴AN＝NE，‎ 7‎ ‎∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝25＋10 ＋10＝(35＋10 )米．‎ 答：建筑物AB的高为(35＋10 )米．‎ 7‎