4.1 比例线段(3)
黄金比为≈0.618,黄金分割是分一条线段,黄金比是一个比值,注意它们的区别和联系.
1.已知线段a=4,b=16,线段c是a,b的比例中项,那么c等于(B).
A.10 B.8 C.-8 D.±8
2.已知C是线段AB上的一个点,且满足AC2=BC·AB,则下列式子成立的是(B).
3.美是一种感觉,当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度约为(D).
A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm
4.已知P,Q是线段AB的两个黄金分割点,且AB=10cm,则PQ长为(C).
A.5(-1) B.5(+1) C.10(-2) D.5(3-)
5.如图所示,P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,如果S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积,那么S1与S2之间的大小关系是(A).
A.S1=S2 B.S1>S2 C.S1<S2 D.不能确定
(第5题)(第7题)
6.已知线段a=9,c=4,如果线段b是a,c的比例中项,那么b= 6 .
7.为了弘扬雷锋精神,某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像,向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料,了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案,其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m(精确到0.01m,参考数据≈1.414,≈1.732,≈2.236).
8.已知C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,BC=3-,则AB的长为 2 .
9.已知C,D是线段AB的黄金分割点,AB=10,求线段AC与CD的长.
(第9题)
【答案】∵C,D是线段AB的黄金分割点,∴AC=AB=5-5,BD=AB=5-5.∴AD=AB-BD=15-5.∴CD=AC-AD=5-5-(15-5)=105-20.
(第10题)
10.如图1所示为一张宽与长之比为的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC,那么矩形EFDC还是黄金矩形吗?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由.
【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下:∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF.∵=,∴=,即F是线段AD的黄金分割点.∴==.∴=.∴矩形EFDC是黄金矩形.
11.乐器上的一根琴弦AB=60cm,两个端点A,B固定在乐器板面上,支撑点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为(C).
A.(90-30)cm B.(30+30)cm C.(30-30)cm D.(30-60)cm
12.如图所示,P为线段AB的黄金分割点(PB>PA),四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形,且面积分别为S1,S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形,且面积分别为S3,S4.下列说法中,正确的是(B).
A.S2=S1 B.S2=S3 C.S3=S4 D.S4=S1
(第12题) (第14题)
13.已知线段AB及AB上一点P,P为AB的黄金分割点.给出下列结论:①AP2=AB·PB;②AP=AB;③PB=AB;④=;⑤=.其中正确的是(A).
A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤
14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示,五边形ABCDE的5条边相等,5个内角相等,则图中的黄金三角形有 20 个.
15.(1)我们知道,将一条线段AB分割成大小两条线段AP,PB,使AP>PB,点P把线段AB分成两条线段AP和BP,且=,点P就是线段AB的黄金分割点,此时的值为 .
(2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D,再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证:E是线段AB的黄金分割点.
(第15题)
【答案】(1)
(2)设BC=a,则AB=2a,∴AC=a.由题意得CD=BC=a,∴AE=AD=a-a,BE=AB-AE=3a-a.
∴=,=.∴=,即E是线段AB的黄金分割点.
(第16题)
16.如图所示,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°,过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D,E,连结OE,DE=12AB,OD=2.
(1)求∠CDB的度数.
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由.
②求弦CE的长.
③在直线AB或CD上是否存在点P(点C,D除外),使△POE是黄金三角形?若存在,画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.
【答案】(1)∵AB是⊙O的直径,DE=AB,∴OA=OC=OE=DE.则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC.
设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x.∵∠BOC=108°,
∴∠CDB+∠OCD=108°.∴x+2x=108°,x=36°.∴∠CDB=36°.
(2)①有三个:△DOE,△COE,△COD.∵OE=DE,∠CDB=36°,∴△DOE是黄金三角形.
②∵△COD是黄金三角形,∴OCOD=.∵OD=2,∴OC=-1.∴CD=OD=2,DE=OC=-1.
∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-.
(第16题答图)
③存在,有三个符合条件的点P1,P2,P3,如答图所示,以OE为底边的黄金三角形:作OE的垂直平分线分别交直线AB,CD得到点P1,P2;以OE为腰的黄金三角形:点P3与点A重合.
17.【山西】宽与长之比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连结EF;以点F为圆心、FD为半径画弧,交BC的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,则下列矩形中,属于黄金矩形的是(D).
(第17题)
A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH
18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠玉,生活中到处可见黄金分割的美.
如图所示,线段AB=1,点P1是线段AB的黄金分割点(AP1<BP1),点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2<P1P2),点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3<P2P3)……依此类推,则APn的长度是 ()n .
(第18题)
19.如图1所示,点C将线段AB分成两部分,若=,点C为线段AB的黄金分割点.
某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线,给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
如图2所示,在△ABC中,D是AB的黄金分割点.
(1)研究小组猜想:直线CD是△ABC的黄金分割线,你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组探究发现:过点C作直线交AB于点E,过点D作DF∥CE,交AC于点F,连结EF(如图3所示),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
(第19题)
【答案】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:∵D是AB的黄金分割点,∴=.∵,.
∴直线CD是△ABC的黄金分割线.
(2)∵三角形AB边的中点D′把AB分成相等的两条线段,即AD′=BD′,∴.∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.
(3)∵DF∥CE,∴S△FDE=S△FDC,S△DEC=S△FEC.∴S△AEF=S△ADC,S四边形BEFC=S△BDC.∵.∴直线EF是△ABC的黄金分割线.