4.5 相似三角形的性质及其应用（1）
相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似比．
1.如图所示，ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE∶BC=2∶3，那么下列各式错误的是(C).
（第1题）（第2题） （第3题） （第4题）
2.如图所示，在△ABC中，D论中，正确的是(C).，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连结AF交DE于点G，则下列结 3.如图所示，AB是⊙O的直径，过点O作AB的垂线与弦AC交于点D，连结BC，若OD=3，⊙O的半径为4，则CD等于(A).
A.1.4 B.1.8 C.2.4 D.2.6
4.如图所示，边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E，F，G分别在AB，BC，FD上.若BF=3，则小正方形的边长为(A).
A. B.2 C.4 D.5
（第5题）（第6题）（第7题） （第8题）
5.如图所示，Rt△OAB的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=3BO，当点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上移动时，点B坐标满足的函数表达式为(A).
A.y=-（x＜0） B.y=-（x＜0）
C.y=-（x＜0） D.y=-（x＜0）
6.如图所示，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 10 ．
7.如图所示，在ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果=，那么= ．
8.如图所示，已知在△ABC中，AB=3，AC=2，D是边AB上的一点，∠
ACD=∠B，∠BAC的平分线AQ分别与CD，BC交于点P，Q，那么的值为 ．
9.如图所示，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于点D，NB交AC于点E，连结DE．
（第9题）
（1）求证：DE∥BC．
（2）若DE=1，BC=3，求MN的长．
【答案】(1)∵MN∥BC，∴.∵AM=AN，∴=.∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC，∴.∴MN=2AM=3.
10.如图所示，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD，BC于点G，E.
（1）求证：BE2=EG·EA.
（2）连结CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC.
（第10题）
【答案】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.∵AE⊥BD，∴∠BGE=90°=∠ABC.
∵∠BEG=∠AEB，∴△ABE∽△BGE.∴=.∴BE2=EG·EA.
(2)由(1)证得BE2=EG·EA，∵BE=CE，∴CE2=EG·EA.∴=.∵∠CEG=∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG=∠EAC.
11.如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点.若∠APD=45°，则CD的长为(C).
（第11题） （第12题） （第13题）（第14题）
12.如图所示，D是等边三角形ABC边AB上的一点，且AD∶DB=1∶2，现将△ABC折
叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF等于(B).
13.如图所示，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b），在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，则DE等于(C).
14.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为 .
15.如图所示，在ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.若AB=5，AD=8，AE=4，则AF的长为 2 ．
（第15题）（第16题）（第16题答图）
16.如图所示，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE= 20 .
【解析】如答图所示，延长CA到点F，使得AF=AB，连结BF，则∠F=∠ABF=∠BAC.∵∠BAC=2∠BDC，∴∠F=∠BDC.又∵∠FEB=∠DEC，∴△FEB∽△DEC.∴=.∵AE=4，AB=AC=6，∴EF=10，CE=2.∴=.∴BE·DE=20.
17.如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(，)，点D的坐标为（0，1）.
（1）求直线AD的函数表达式.
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标.
(第17题) 图1图2
（第17题答图）
【答案】(1)设直线AD的函数表达式为y=kx+b.将A（，），D（0，1）代入，得.∴直线AD的函数表达式为y=x+1.
(2)∵直线AD与x轴的交点为（-2，0），∴OB=2.∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1.∴BD==.∵y=-x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3.∴BC=5.
①如答图1所示，当∵△BOD∽△BCE时，则=,∠BCE=∠BOD=90°,∴=，解得CE=.∴点E的坐标为（3, ）.
②如答图2所示，当△BOD∽△BEC时，则,解得BE=25，CE=5.
过点E作EF⊥x轴于点F，易知△BEF∽△BCE,∴，解得EF=2.
∴CF==1.∴OF=2.∴点E的坐标为(2，2).综上可得点E的坐标为(3，)或(2，2）.
18.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC，BD交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2=BC·AD．
（2）F是BC边上一点，连结AF与BD交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：=BGBD．
（第18题）
【答案】(1)∵AD∥BC，∠BCD=90°，∴∠ADC=∠BCD=90°.∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°.∴∠ACD=∠CBD.∴△ACD∽△DBC.∴=，即CD2=BC·AD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF.∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF.∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA.∴.∵△ABG∽△DBA，∴=.∴AB2=BG·BD.∴.
（第19题）
19.【深圳】如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN的直角顶点
P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= 3 .
20.【杭州】如图所示，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证：△ADE∽△ABC.
（2）若AD=3，AB=5，求的值.
（第20题）
【答案】(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°.∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB.又∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴==.∵AFE=∠AGC,∠EAF=∠CAG,∴△EAF∽△CAG.∴=.∴=.
21.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为点P，设BC=a，AC=b，AB=c.求证：a2+b2=5c2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连结EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证.
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连结BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值.
图1图2
（第21题）
【答案】(1)设PF=m，PE=n，连结EF.∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF为△ABC的中位线，AE=b，BF=a.∴EF∥AB，EF=c.∴△EPF∽△BPA.∴
∴PB=2n，PA=2m.在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，∴n2+4m2=b2①.在Rt△BFP中，∵PF2+PB2=BF2，∴m2+4n2=a2②.①+②得5（n2+m2）=（a2+b2
），在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，∴n2+m2=c2.∴5·c2=（a2+b2）.∴a2+b2=5c2.
(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵E，F分别为线段AO，DO的中点，由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45.∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB.∴.∴AG=1.同理可得DH=1，∴GH=1.∵GH∥BC，∴.∴MB=3MG，MC=3MH.∴9MG2+9MH2=45.∴MG2+MH2=5.
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