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2018—2019学年高三（上）期中考试文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数（ ）
A． -1 B． C． D．
3．在等比数列{an}中，a4 ，a12是方程的两根，则a8=( )
A． B． C． D．
4．已知命题命题是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 35 B． C． D．
6．已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．已知{an}等差数列，a1=9，S5=S9,那么使其前n项和Sn最大的n是（ ）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
8．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A． 若，则 B． 若,则
C． 若,则 D． 若，则
9．在中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA= ( )
A． B． C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在[-a,a]上是减函数，则a的最大值是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，满足不等式组目标函数，则Z的最大值为__________．
14．已知，，若，则和的夹角是__________.
x
0
1
4
5
1
2
0
2
1
15．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为___________.
16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表。
的导函数的图象如图所示。下列关于函数的命题：
①函数在是减函数；②如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；③函数有4个零点，则
；其中真命题的个数是__________. ( 填出你认为正确的序号)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn< 1.
18．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年 份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝，＝－.
[解] (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2018年的年份代号t＝12代入(1)中的回归方程，得
＝0.5×12＋2.3＝8.3，
故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为8.3千元．
19．(本小题满分12分)
在矩形ABCD所在平面的同一侧取两点E、F，使，若AB=AF=3,AD=4,DE=1.
（1）求证：；
（2）取BF的中点G，求证；
（3）求多面体ABF—DCE的体积.
20．(本小题满分12分)
已知抛物线，斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点，当直线l1过点(1，0)时，以AB为直径的圆与直线相切.
（1）求抛物线C的方程；
（2）与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点，若平行线l1, l2之间的距离为，且
的面积是面积的倍，求l1和l2的方程.
21．（本小题满分12分）已知函数
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，判断函数的单调性；
（3）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
已知以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．
（1）求曲线 和 的普通方程；
（2）若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）若，解不等式；
（2）若不存在实数，使得不等式，求实数的取值范围．
2018—2019学年高三（上）期中考试文科数学
参考答案
一、单选题
1．【详解】，，故，选D.
【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.
2．【详解】，故选C.
【点睛】本题考查复数的运算，对于除法运算，只需分子和分母同时乘以分母的共轭复数即可计算，这类问题属于基础题.
3．【详解】因为是方程的根，故且 ，由是等比数列可知，故，因为，故，故，选B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
4．A
5．【详解】三视图对应的几何体如图所示：
其底面为直角梯形，其中，
平面，且，故体积为，故选B.
【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系及几何量的对应的关系．
6．【详解】由双曲线的离心率为可得，故，
故椭圆的离心率为，故选D．
【点睛】圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到的一个关系式即可，注意双曲线和椭圆中
的意义不一样，关系也不一样，双曲线中实半轴长、虚半轴长和半焦距长满足，而在椭圆中长半轴长、短半轴长和半焦距长满足．
7．【详解】因，故公差小于零，数列的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为，故时最大．
【点睛】等差数列的通项公式和前和公式有如下函数特征：
（1）等差数列的通项可写为，当时，数列的散点图分布在一次函数的图像上，且直线的斜率就是公差．
（2）等差数列的前项和可写为，当时，数列的散点图分布在二次函数上，该二次函数的图像恒过，当时，散点图开点向上，当，散点图开口向下．
8．【详解】如图，平面平面，平面，平面，但，故A错；
平面平面，平面，，但平面，故B错；
，平面，平面，但平面平面，
故C错；
对于D，因为，，所以，而，所以．
综上，选D．
【点睛】本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性．解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例．
9．【解析】作延长线上一点为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.
10．【详解】由图像可知的周期为，故图像的对称中心为，，当时，有对称中心为，故选D．
【点睛】的图像上相邻两条对称轴之间的距离为半周期，相邻两个对称中心之间的距离为半周期．三角函数的图像和性质大多数和其对称轴和对称中心相关．
11．【详解】，
当时，，故，所以为上的增函数．
又，故为上的奇函数，
因等价于，故，故，故选C．
【点睛】函数值的大小关系与自变量大小关系的转化，常需要利用函数的单调性和奇偶性来转化，如果函数较为复杂，应把函数函数看出一些简单函数的加、减等，再利用导数等工具判别这些简单函数的单调性等性质即可．
12．【详解】，由题设，有在上恒成立，所以
，故，．
所以，因，故即，的最大值为，故选A．
【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
二、填空题
13．【详解】不等组对应的可行域如图所示，
当动直线过是有最大值，由 得，故，此时，填3．
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．
14．【详解】因为，故，故即，
故，因，故，填．
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.
15．【解析】因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.
【考点】1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.
16．【详解】由导函数的图像可知函数的单调增区间为[-1,0]，（1,4），单调减区间为(0,1]，[4,5]，故命题①为真命题；由表可知，可知当时，的最大值是2，t的最大值为5；所以命题②为假命题；由函数有4个零点，可得函数的图像与直线有四个交点，所以，所以命题③为真命题。
故选B。
【点睛】⑴判断导函数的图像和函数图像之间的关系，应注意时，函数为增函数，时，函数为减函数。
⑵由函数的零点个数求参数的取值范围，一般有两种方法：① 求函数的单调性和极值，考虑函数的图像与轴交点的个数，进而可求参数的取值范围；②转化为考虑函数的图像与直线交点的个数问题。
三、解答题
17．【详解】（1）当时， ，整理得，当时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以．
（2）由（1）有，则 ，
故 ，故原不等式得证.
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
18．
[解] (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2018年的年份代号t＝12代入(1)中的回归方程，得
＝0.5×12＋2.3＝8.3，
故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为8.3千元．
19． 解：(1)四边形是矩形， ，又，，
，在平面内，.................4分
(2)连结交于点，则是的中位线，，在平面内，所以.............................8分
（3）
...............................................12分
20．解：（1）设AB直线方程为代入得
设∴
当时，，AB的中点为
依题意可知，解之得
抛物线方程为........4分
（2）O到直线的距离为，
......6分
因为平行线之间的距离为，则CD的直线方程为
.......................................................8分
依题意可知，即
化简得，∴代入
∴或者.....................12分
21．【详解】（1）当时，函数的导函数,则切线的斜率，
而，所以直线的切线方程为,即．
（2）依题意可得．
所以.故，
列表讨论如下：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
(3)当时，．
∵，∴原不等式可化为，即对任意恒成立．
令，则，
令，则，
∴在上单调递增．
∵，，
∴ 存在使即，
当时，，即；
当时，，即．
∴在上单调递减，在上单调递增．
由，得，
，
∴，∵，∴.
【点睛】（1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；
（2）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
（3）不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以相应的最值范围．
22．【详解】（1）曲线的普通方程为，将： 代入中，得．
（2）因，则 到直线的距离为：
，
当时取最小值，此时．
【点睛】（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是
．参数方程化为直角方程，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．
（2）圆锥曲线上的动点到定直线距离的最值问题可以用圆锥曲线的参数方程来简化计算．
23．【详解】（1），，
当时，，解得 ，所以
当时，，解得
当时，，解得，所以，
综上所述，不等式的解集为.
（2）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立.
因为，
所以，
当时，，解得
当时，，解得
所以时，不存在实数，使得不等式.
【点睛】解绝对值不等式，关键在于去掉不等式中的绝对值符号，可用零点分段讨论的方法去掉绝对值符号．另外，不等式无解问题可以转化为恒成立问题来处理．
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