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2018年下学期高三年级第3次月考试题
数 学 （文科）
本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，总分150分。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题（共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）
1．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（ ）
A． +i B．5 C． D．
2．已知集合，，则集合中共有 ( ) 个真子集
A. 7 B .4 C. 3 D. 8
3．下列说法正确的是（ ）
A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”
4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ,，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的零点所在的大致区间是 ( ).
A. B. C. D.
9．设函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( )
（A） （B） （C） （D）
11．已知向量.若,则与的夹角为( )
（A） （B） （C） （D）
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•2n+a﹣2，则an =_____．
14． 已知函数，其中，若存在实数，使得关于x的方程
有三个不同的零点，则m的取值范围是 ．
15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE， DC=λDF，若•=1，则λ的值为______．
16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜ 的解集为______．
三、解答题（本大题共7小题，满分70分）
17.（本小题满分10分）
在中,角所对的边分别为,且满足:,的面积为.
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）若,求边长.
18. （本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．
19. （本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
（1）求，并求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
18. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）设，且，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．
21．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为,且,.
（Ⅰ）求证:数列为等差数列;
（Ⅱ）若,判断的前项和与的大小关系,并说明理由.
22．（本小题满分12分）
设函数f（x）=x2﹣2x+alnx
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），
①求实数a的范围； ②证明：＞﹣﹣ln2．
2018年下学期高三年级第3次月考试题
数 学 （文科）
本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，总分150分。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题（共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）
1．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（ D ）
A． +i B．5 C． D．
2．已知集合，，则集合中共有 ( C ) 个真子集
A. 7 B .4 C. 3 D. 8
3．下列说法正确的是（ D ）
A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”
4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（ B ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间是（ D ）
A． B． C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ B ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ,，则（ C ）
A． B． C． D．
8．函数的零点所在的大致区间是 ( B ).
A. B. C. D.
9．设函数，若，则实数的取值范围为（ D ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( A )
（A） （B） （C） （D）
11．已知向量.若,则与的夹角为( D )
（A） （B） （C） （D）
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（ C ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•2n+a﹣2，则an =_____． 2n﹣1 .
14．已知函数，其中，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的零点，则m的取值范围是 ．
15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为______． 2 ；
16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜ 的解集为______． （-∞，-1）∪（1，+∞）
三、解答题（本大题共7小题，满分70分）
17.（本小题满分10分）
在中,角所对的边分别为,且满足:,的面积为.
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）若,求边长.
解:（Ⅰ）因为,①由正弦定理得
,② 将②代入①可得
,
化简得,
即,因为,所以,又,所以.
（Ⅱ）因为的面积为,所以,所以.又因为,所以,
由余弦定理得,即,所以.
18. （本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．
解：（I）设公差为d且d≠0，则有，即，
解得或（舍去），∴an=3n﹣2．
（II）由（I）得， =，
∴bn===3n+﹣1≥2﹣1=23，当且仅当3n=，即n=4时取等号，
故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23．
18. （本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
（1）求，并求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
解：（1）由题得，
又函数在处取得极值，所以解得
即.（3分）
因为，所以，
所以曲线在点.（6分）
（2）由（1）得，，
令，
所以的单调递增区间为. （9分）
令，
所以的单调递减区间为.
综上所述，
的单调递减区间为，单调递增区间为.（12分）
18. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）设，且，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．
解：（1）==．
由
得
于是（k∈Z）
因为 所以
（2）因为C∈（0，π），由（1）知．
因为△ABC的面积为，所以，
于是．①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．
由余弦定理得，
所以a2+b2=7．②
由①②可得或
于是．
由正弦定理得，
所以．
21．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为,且,.
（Ⅰ）求证:数列为等差数列;
（Ⅱ）若,判断的前项和与的大小关系,并说明理由.
解:（Ⅰ）证明:由可得
,
所以数列为首项为,公差为的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得:,
所以,
所以时,,
又时上式也成立,
所以,
所以,
所以数列的前项和为
所以.
22．（本小题满分12分）
设函数f（x）=x2﹣2x+alnx
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．
解：（1）函数f（x）=x2﹣2x+2lnx的导数为f′（x）=2x﹣2+，
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，﹣1），
即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣3=0；
（2）①函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，
∵函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．
∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴，解得，0＜a＜；
②证明：由（1）知，x1+x2=1，x1x2=a，则a=2x2（1﹣x2），
因此，f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），
=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1），
令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），
则h′（t）=1+2[﹣ln（1﹣t）﹣1]+ =﹣2ln（1﹣t），
∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln（1﹣t）＜0，∴h′（t）＞0，
即h（t）在（，1）上单调递增，则h（t）＞h（）=﹣﹣ln2，
即有＞﹣﹣ln2．
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