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银川一中2018/2019学年度(上)高二阶段性测试
数学(文科)试卷
命题人：李伟 尹向阳
一．选择题(每小题5分,共60分)
1．下列说法错误的是（ ）
A．对于命题，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若命题为真命题，则都是真命题
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
2．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．25 B．40 C．50 D．20
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
4．“双色球”彩票中有33个红色球,每个球的编号分别为01,02,…,33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号,选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数开始,从左向右读数,则依次选出来的第3个红色球的编号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A．21 B．26 C．09 D．20
5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,
抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内
夹谷约为 ( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
7．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个
阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复
赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有
学生的成绩均在区间内，其频率分布
直方图如右图．则获得复赛资格的人数为( )
A．520 B．540 C．620 D．640
n=10
s=0
DO
s=s+n
n=n-1
LOOP UNTIL s﹥=45
PRINT n
END
8．右边程序运行结果为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦
点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准
线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6
10．已知、取值如下表：
0
1
4
5
6
8
1．3
1．8
5．6
6．1
7．4
9．3
从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1
12．已知函数（），，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．某学校青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为7:5:3，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 ．若样本中的青年职工为14人，则样本容
量为______．
14．甲、已两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．
15．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则
=_____．
16．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 ____．
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)
设函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
18．(12分)
某市准备引进优秀企业进行城市建设． 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．
6
3
9
7
9
6
8
8
甲地企业
4
乙地企业
7
9
8
3
（1）根据茎叶图，求乙地对企业评估得
分的平均值和方差；
（2）规定得分在85分以上为优秀企业．
若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选
取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超
过5分的概率．
(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数)
19．(12分)
某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：
x(单位：元)
30
40
50
60
y(单位：万人)
4.5
4
3
2.5
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)根据(1)中求出的线性回归方程，若票价定为70元，预测该电影院渴望观影人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
,
20．(12分)
全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2018年8月某日起连续n
天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：
空气质量指数(μg/m3)
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信
息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数
与中位数；
(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]
的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从
中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．
21．(12分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？若是请求出，若不是请说明理由．
22．(12分)
已知函数f (x) = ln x +a(1- x)．
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）当f (x)有最大值，且最大值大于2a -2时，求a的取值范围．
参考答案
一． 选择题
1．C 2．A 3． B 4． C 5． D 6．B 7．A 8．B 9．D 10．A 11．D 12． C
二． 填空题
13． 30 14． 15． 32 16． 2
三． 解答题
17．解：（1） ……………………………．．5分
（2） 单调增区间为 ，单调减区间为 ．…10分
18． 【答案】解：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是，
方差是．
……………………4分
（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有，，，，，，，，，，，共组， ……………………8分
设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件，
则事件包含有，，，，，，，共组． ……………………11分
所以
所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是……………………12分
19．解： (1)由表中数据可得＝45，＝3．5，
iyi－4＝－35，－42＝500，
则＝＝－0．07，＝3.5＋0.07×45＝6.65，
所以，所求线性回归方程为＝－0.07x＋6.65………………．．6分
(2)根据(2)中的线性回归方程，易得，当x＝70时，为1.75万人．…．．6分
20．[解] (1)∵0．004×50＝，∴n＝100，
∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝25．
＝0.008；＝0.005；＝0.002；＝0.001． 2分
由此完成频率分布直方图，如图：
4分
(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分
∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2，(50,100)的频率为0.008×50＝0.4，
∴中位数为50＋×50＝87．5． 8分
(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， 9分
在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a，b，c，d；
将空气质量指数为(150,200]的1天记为e，
从中任取2天的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个， 10分
其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个， 11分
所以P(A)＝＝． 12分
21．[解] (1)由题意知解得 3分
∴椭圆C的标准方程为＋＝1． 6分
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 5分
由Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3． 6分
∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝， 8分
化简得4k2＋3－2m2＝0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2＝m2－3(*)， 9分
∴kOA·kOB＝＝＝
＝＝－·，由(*)式，得＝1，
∴kOA·kOB＝－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－． 12分
22．解析：（Ⅰ）的定义域为，若则所以单调递增． 若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减…………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为． 因此 等价于． 令，则在单调递增，．
于是，当时；当时，，因此，的取值范围是..12分
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