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长铁一中2018年下学期高三年级第3次阶段性测试
理科数学试题
命题人：左辉霞 审题：高二数学组
时量：120分钟 满分：150分
一、填空题（共12小题，每小题5分）
1．设集合，若，则的值为 ( )
A．0 B．1 C． D．2
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
4.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 （ ）
A B
C D
5. 如右图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出
相应的的值,若要使输入的的值与输出的的值相等,则这样的的值的集合为（ ）
A.{0} B.{1,3} C.{0,1,3} D.{0,3}
6. 已知直线与直线垂直，平行于平面，则
与平面的位置关系是（ ）
主视图
左视图
俯视图
A． B．
C．与平面相交 D．以上都有可能
7.某几何体三视图如右，其中三角形的三边长与圆的
直径均为2，则该几何体体积为（ ）
A． B．
C． D．
8、曲线和曲线围成一个叶形图
（如图所示阴影部分），其面积是（ ）
A．1 B．
C． D．
9.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在中，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12.定义在R上的函数满足，为函数的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是 （ ）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是________.
14. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____________
15、已知数列满足，且则 （用a,b表示）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
19.(12分)如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面⊥平面，，分别为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
20.已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点。
①设试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值。
②若a=－1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点。
21.（本题满分12分）已知
（Ⅰ）证明：图象恒在直线的上方；
（Ⅱ）若在恒成立，求的最小值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
23.已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．
长铁一中2018年下学期高三年级第3次阶段性测试
理科数学参考答案
一、选择题答案表：本大题共12题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
D
C
D
C
B
A
C
C
A
二、填空题答案：本大题共有4小题，每小题5分，满分20分
13、 14、 20__ 15. 16.
18.
19.证明：（Ⅰ）取中点，连接，，
因为是正方形，所以，.
因为分别是,中点，所以,.
又因为且，所以，，
所以四边形是平行四边形, 所以.
又因为平面，平面 所以平面．
（Ⅱ）因为平面⊥平面， 平面平面，
，平面， 所以平面．
如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．
设，则 ．
因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.
设平面PFB的一个法向量为，
,
则 即 令x=1，得，所以． 由已知，二面角的余弦值为，
所以得 ， 解得a =2,所以． 因为是四棱锥的高，所以其体积为
．
20.解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x>0），焦点F（，0），
∵椭圆的右焦点为（1，0），
∴，即p=2，
∴抛物线方程为：y2=4x …………4分
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x一a．
联立，消x得=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=一4a，，由S△AOB= =
∴,
∵，
∴,
∴当a=2时，t有最小值一2． …………8分
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x1，一y1），，，
直线BD的方程为y一y2=，即
y=∴y=，
∴直线BD过定点（1，0） 12分
21. 解（Ⅰ）由题意只需证 即证明在上恒成立。
令，
即单调递增。
又，所以在唯一的解，记为，
且
可得当
所以只需最小值
易得，，所以.所以结论得证。
（Ⅱ）令，则，
所以，当时，
要使，只需
要使成立，只需恒成立。
令
则，由
当时， 此时有成立。
所以满足条件。
当时， 此时有
不符合题意，舍去。
当时，令得
可得当时，。即时，
不符合题意舍去。
综上，
又 所以的最小值为。
22.解：（1）由得，
即，
故曲线的一个参数方程为（为参数，且）.
（2）由（1）可知点的坐标为，，
则矩形的周长为，
∵，∴，∴，∴
23.解：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．
设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，
又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4，所以m≤4.
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