邹城一中 2019 届 12 月月考
数学试题(文)
（带着微笑和信心参加考试，命题老师祝你考试顺利，取得好成绩）
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分. 每题只有一个选项符合他题目要求)
1．已知全集𝑈 = 𝑅，集合𝐴 = {𝑥|𝑥2 + 𝑥 − 2 ≤ 0}, 𝐵 = {𝑥|𝑥 < 0}，则(𝐶𝑈𝐴) ∩ 𝐵=（ ）
A． {𝑥|𝑥 < −1} B． {𝑥| − 2 ≤ 𝑥 < 0} C． {𝑥|𝑥 < −2} D． {𝑥|𝑥 ≤ −1}
2．已知命题𝑝：1 < 𝑥 < 3，𝑞：3𝑥 > 1，则𝑝是𝑞的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3．经过点(0,1)与直线2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0平行的直线方程是
A． 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 B． 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
C． 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 D． 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
4
．函数𝑦 = sin(𝑥 + 𝜋)的一条对称轴方程是（ ）
6
A
． 𝑥 = 𝜋
2
． 𝑥 = 𝜋
B
6
． 𝑥 = 𝜋
C
3
． 𝑥 = − 𝜋
D
6
5．已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3𝑥 + 𝑦 − 6 ≥ 0
6．设变量𝑥, 𝑦满足约束条件{ 𝑥 − 𝑦 − 2 ≤ 0
𝑦 − 3 ≤ 0
A． －7 B． －4 C． 1 D． 2
则目标函数𝑧 = 𝑦 − 2𝑥的最小值为
7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）
A
B
． 8 ． 2
3 3
． 4 ． 2
C
D
3
8
．函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥 + 𝜑)(𝜔 > 0 ，|𝜑| < 𝜋) 的部分图象如图所示，若将𝑓(𝑥)的图象上
2
各点的横坐标伸长到原来的𝜋倍后，再把得到的图象向左平移𝑚(𝑚 > 0)个单位，得到一个偶函数的图像，则𝑚的值可能是（ ）独家发送
A
． − 𝜋
8
． 𝜋 8
． 3𝜋 8
． 𝜋 4
B
C
D
9．如图四边形 ABCD 为平行四边形，⃑𝐴⃑⃑⃑𝐸⃑ = 1 𝐴⃑⃑⃑⃑𝐵⃑ , ⃑𝐷⃑⃑⃑𝐹⃑ = 1 𝐹⃑⃑⃑⃑𝐶⃑ ，若𝐴⃑⃑⃑⃑𝐹⃑ = 𝜆𝐴⃑⃑⃑⃑𝐶⃑ + 𝜇𝐷⃑⃑⃑⃑𝐸⃑ ，则𝜆 − 𝜇
2 2
的值为
A
B
． 1 ． 2
2 3
． 1 ． 1
C
D
3
2
10．定义在(0, 𝜋)上的函数𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥)是它的导函数，则恒有𝑓(𝑥)cos𝑥 + 𝑓′(𝑥)sin𝑥 > 0成
立，则 （ ）
A． √2𝑓(𝜋) > √3𝑓(𝜋) B． 𝑓(1)sin1 > 1 𝑓(𝜋)
4 3 2 6
C． 𝑓( 𝜋) > 𝑓(𝜋) D． 𝑓(𝜋) > √3𝑓(𝜋)
6 4 6 3
11．已知𝐹 ，𝐹 分别为椭圆𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的左、右焦点，点𝑃是椭圆上位于第
1 2 𝑎2 𝑏2
一象限内的点，延长𝑃𝐹2交椭圆于点𝑄，若𝑃𝐹1 ⊥ 𝑃𝑄，且|𝑃𝐹1| = |𝑃𝑄|，则椭圆的离心率为（ ）
A． 2 − √2 B． √3 − √2 C． √2 − 1 D． √6 − √3
2
12．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 (𝑥 < 0)与𝑔(𝑥) = 𝑥2 + log2(𝑥 + 𝑎)的图象上存在关于𝑦
2
轴对称的点，则𝑎的取值范围是（ ）
A． (−∞, −√2) B． (−∞, √2) C． (−∞, 2√2) D． (−2√2, √ 2)
二、填空题（共 4 个小题，每题 5 分）独家发送
13．设等比数列{a }的公比q = 1 ，前n 项和为 S ，则 S4 = ．
4
n 2 n a
14．已知函数𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑚𝑥 + 3(0 ≤ 𝑚 ≤ 4,0 ≤ 𝑥 ≤ 1)的最大值为4，则𝑚的值为
．
15
．已知正数𝑥, 𝑦满足𝑥 + 𝑦 = 1,则 4
𝑥+2
+ 1 的最小值为 ．
𝑦+1
2
16．如图,一张矩形白纸 ABCD,AB=10,AD=10
,E,F 分别为 AD,BC 的中点,现分别将
△ABE,△CDF 沿 BE,DF 折起, 且 A 、C 在平面 BFDE 同侧, 下列命题正确的是
(写出所有正确命题的序号)
①当平面 ABE∥平面 CDF 时,AC∥平面 BFDE
②当平面 ABE∥平面 CDF 时,AE∥CD
③当 A、C 重合于点P 时,PG⊥PD
④当 A、C 重合于点P 时,三棱锥 P-DEF 的外接球的表面积为 150 p
三、解答题独家发送
17．在𝛥𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑏sin2𝐴 − 𝑎sin(𝐴 + 𝐶) = 0.
（1）求角𝐴；
（2）若𝑐 = 3，𝛥𝐴𝐵𝐶的面积为3√3，求𝑎的值．
√
2
18．已知公差不为 0 的等差数列{𝑎𝑛}，满足：𝑎3 = 7, 𝑎1, 𝑎4, 𝑎13成等比数列
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式及其前 n 项和𝑆𝑛
𝑎2 −1
（2）令𝑏𝑛 = 1
𝑛
(𝑛 ∈ 𝑁∗)，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛。
19．如图，在四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形，𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷，
∠𝐵𝐴𝐷 = 60∘，𝑃𝐷 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 2，𝐶𝐷 = 4，𝐸为𝑃𝐶的中点．
（1）证明：𝐵𝐸∥平面𝑃𝐴𝐷；
（2）求三棱锥𝐸 − 𝑃𝐵𝐷的体积．
2
20．已知圆𝐶的圆心在直线𝑦 = 1 𝑥上，且过圆𝐶上一点𝑀(1,3)的切线方程为𝑦 = 3𝑥.
（Ⅰ）求圆𝐶的方程；
（Ⅱ）设过点𝑀的直线𝑙与圆交于另一点𝑁，以𝑀𝑁为直径的圆过原点，求直线𝑙的方程.
21．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑎ln𝑥, 𝑎 ∈ 𝑅
（Ⅰ）若𝑓(𝑥)在 处取得极值，求实数 的值；
（Ⅱ）若不等式𝑓(𝑥)>0 对任意𝑥 ∈ [1, +∞)恒成立，求实数 a 的取值范围.
22．已知函数𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 3| + 1．
（1）求不等式𝑓(𝑥) ≥ 𝑥的解集；
（2）若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥) − 2|𝑥 + 1| ≤ 𝑎无解，求实数𝑎的取值范围．
数学试题(文) 参考答案
一、选择题
CABCB ABBDB DB
二、填空题
13．15 14．2√2 15．3
16．①④
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【解析】 在 DABE 中，
ÐABE = ÐDAC，
tanÐABE = ，在 DACD中，
2
2
tanÐCAD = ， 所以
2
2
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由题意，将DABE, DCDF 沿 BE, DF 折起,且 A,C 在平面 BEDF 同侧，
此时 A,C,G, H 四点在同一平面内，平面 ABE Ç平面 AGHC = AG ，
平面CDF Ç 平面 AGHC = CH ，当平面 ABE // 平面CDF 时，得到 AG / /CH , 显然 AG = CH ，所以四边形 AGHC 是平行四边形，所以 AC / /GH ,
进而得到 AC // 平面 BFDE ，所以①正确的；
由于折叠后，直线 AE 与直线CD 为异面直线，所以 AE 与CD 不平行，所以②错误的；
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=
10 3
折叠后，可得 PG ,
3
PD = 10 ，其中GD = 10 ,ZE
PG2 + PD2 ¹ GD2 ，所以 PG
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和 PD 不垂直，所以③不正确；
当 A,C 重合于点 P 时,在三棱锥 P - DEF 中，
DEFD 和DFCD 均为直角三角形，
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5 6
DF
所以 DF 为外接球的直径，即2R = = ,
æ 5 6 ö
2
2 2
则三棱锥 P - DEF 的外接球的表面积为4p R2 = 4p ´ ç ÷
= 150p ，所以④是正确，
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综上正确命题的序号为①④.
è 2 ø
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17．解析：（1）由𝑏sin2𝐴 − 𝑎sin(𝐴 + 𝐶) = 0得𝑏sin2𝐴 = 𝑎sin𝐵 = 𝑏sin𝐴.又∵0 < 𝐴 < 𝜋 ∴sin𝐴 ≠ 0
∴2cos𝐴 = 1 ∴𝐴 = 𝜋 3
（2）由𝑐 = √3 及1 𝑏𝑐sin 𝜋 = 3√3可得𝑏 = 2√3.
2 3 2
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进步就是从改正一个个小的错误开始积累的
在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐cos𝐴，
3
即𝑎2 = (2√3)2 + (√3)2 − 2 × 2√3 × √3cos 𝜋，
可得𝑎 = 3.
4
18．【解析】（1）设等差数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公差为𝑑，由于𝑎3 = 7，又𝑎1, 𝑎4, 𝑎13成等比数列，即𝑎2 = 𝑎1𝑎13，
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所以{ 𝑎1 + 2𝑑 = 7,
(𝑎1 + 3𝑑)2 = 𝑎1(𝑎1 + 12𝑑),
解得𝑎1 = 3, 𝑑 = 2
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由于𝑎𝑛
= 𝑎1
+ (𝑛 − 1)𝑑, 𝑆𝑛
= 𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
，
2
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所以𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1, 𝑆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 2)
（2）因为𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1，所以𝑎2 − 1 = 4𝑛(𝑛 + 1)，因此𝑏 = 1
= 1 (1 − 1 )
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𝑛 𝑛 4𝑛(𝑛+1)
故 𝑇𝑛 = 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 = 1 (1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ + 1 − 1 )，
4 𝑛 𝑛+1
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4
= 1 (1 − 1 ) = 𝑛 .
2 2 3
𝑛 𝑛+1
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4 𝑛+1 4(𝑛+1)
4(𝑛+1)
所以数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛 = 𝑛
19. 解析：（1）证明：设𝐹为𝑃𝐷的中点，连接𝐸𝐹，𝐹𝐴．
∵𝐸𝐹为𝛥𝑃𝐷𝐶的中位线 ∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷，且𝐸𝐹=1 𝐶𝐷 = 2，
2
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又 ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵 = 2 ∴𝐴𝐵 ∥
=
𝐸𝐹
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∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐹为平行四边形
∴𝐵𝐸∥𝐴𝐹．
又 𝐴𝐹 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，𝐵𝐸 ⊄平面𝑃𝐴𝐷
∴𝐵𝐸∥平面𝑃𝐴𝐷
（2）解：∵𝐸为𝑃𝐶的中点
2
∴三棱锥𝑉𝐸−𝑃𝐵𝐷 = 𝑉𝐸−𝐵𝐶𝐷 = 1 𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷
又∵𝐴𝐷 = 𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐷 = 60∘
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答案给你的不仅仅是题目的结果，还有答题的规范和得分的技巧
∴𝛥𝐴𝐵𝐷为等边三角形
∴𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 = 2
又 ∵𝐶𝐷 = 4，∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐷 = 60∘
∴𝐵𝐷 ⊥ 𝐵𝐶
∵𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷
∴三棱锥𝑃 − 𝐵𝐶𝐷的体积𝑉𝑃−𝐵𝐶𝐷 = 1 𝑃𝐷 ⋅ 𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 1 × 2 × 1 × 2 × 2√3 = 4√3
3
3 3 2 3
∴三棱锥 E—PBD 的体积𝑉𝐸−𝑃𝐵𝐷 = 2√3
3
20．【解析】（Ⅰ）由题意，过𝑀点的直径所在直线方程为𝑦 − 3 = − 1 (𝑥 − 1)
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𝑦 − 3 = − 1 (𝑥 − 1)
𝑥 = 4
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{ 3
𝑦 = 1 𝑥
2
解得{𝑦 = 2
， ∴圆心坐标为(4,2)
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半径𝑟2 = (4 − 1)2 + (2 − 3)2 = 10
∴圆𝐶的方程为(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 10
（Ⅱ） ∵以𝑀𝑁为直径的圆过原点，∴𝑂𝑀 ⊥ 𝑂𝑁
3
又 𝑘𝑂𝑀 = 3 ∴𝑘𝑂𝑁 = − 1
∴直线𝑂𝑁方程为𝑦 = − 1 𝑥
3
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𝑦 = − 1 𝑥
由{ 3
，可得𝑁点坐标为(3, −1)
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(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 10
∴ 直线𝑀𝑁方程为𝑦+1 = 𝑥−3
3+1 1−3
即直线𝑙的方程为 𝑦 = −2𝑥 + 5
21．解析：（Ⅰ） （x > 0）
由 ，得 .经检验，当𝑎 = −1时取到最小值， 故𝑎 = −1.
（Ⅱ）由，即，对任意恒成立.（1）当 时，有 ；
（2）当 时，𝑥2 + 2𝑎ln𝑥 > 0，得.
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进步就是从改正一个个小的错误开始积累的
令 ，得 ；
若 ，则 ；若 ，则
所以 在 上递增，在 上递减.
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故 𝑔(𝑥) = − 𝑥2
2ln𝑥
(𝑥 > 1)的最大值为 .所以 .
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综合（1）（2）得𝑎 > −𝑒.
22
．解析：（Ⅰ）|2𝑥 − 3| + 1 ≥ 𝑥 ⇒ { 2𝑥 − 3 ≥ 0
2𝑥 − 3 ≥ 𝑥 − 1
或 { 2𝑥 − 3 < 0
，
3 − 2𝑥 ≥ 𝑥 − 1
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即𝑥 ≥ 2 或𝑥 ≤ 4，∴不等式的解集为(−∞, 4] ∪ [2, +∞)；
3 3
（Ⅱ）因为关于𝑥的不等式𝑓(𝑥) − 2|𝑥 + 1| ≤ 𝑎无解，
即|2𝑥 − 3| − |2𝑥 + 2| ≤ 𝑎 − 1无解，所以𝑎 − 1 < (|2𝑥 − 3| − |2𝑥 + 2|)min， 又|2𝑥 − 3| − |2𝑥 + 2| ≥ −|2𝑥 − 3 − 2𝑥 − 2| = −5
∴ 𝑎 − 1 < −5，即𝑎 < −4.
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