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衡阳市八中 2019 届高三第四次月考试题
理科数学
命题:徐五洲 审题:张贤华
考试时间:2018 年 12 月 9 日 8:00——10:00 试卷满分:150 分
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.集合 1 3A x x , 12 4xB x ,则 A B
A. 0,2 B. 1,4 C. 1,4 D. 2,
2.复数 (1 2 )(2 )z i i 的共轭复数为
A.5i B. 5i C.1 5i D.1 5i
3.已知角 的终边经过点 12,5 P ,则 3πsin 2
的值等于
A. 12
13
B. 5
13
C. 5
13
D.12
13
4. 以下四个命题:
①命题“若 2 3 2 0, 1x x x 则 ”的逆否命题为“若 21, 3 2 0x x x 则 ”;
②“ 2x ”是“ 2 3 2 0x x ”的充分不必要条件;
③若 p q 为假命题,则 ,p q 均为假命题;
④对于命题 2 2: , 1 0, : , 1 0p x R x x p x R x x 使得 则 为 均有 .
其中,真命题的个数是
A. 4 个 B.3 个 C. 2 个 D.1个
5. 在 ABC 中,已知 D 是 AB 边上的一点,若 DBAD 2 , CBCACD
3
1 ,则 等
于
A. 2
3 B. 1
3 C. 2 D. 1
2
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. 1
2 B. 2
3 C. 2
2 D. 3
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7.函数
3sin2 xxf ( 0 )的图象在 1,0 上恰有两个最大值点,则 的取值
范围为
A. 2 ,4 B. 92 , 2
C. 252 , 6
D. 13 25,6 6
8.已知函数
2
sin , ,0
( )
1 , 0,1
x x
f x
x x
,则 1 ( )f x dx 的值为
A. +2 B.
2
C. 22
D. 24
9. 若 xyyx 24 log43log ,则 yx 的最小值是
A. 347 B. 346 C. 327 D. 326
10 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 ( )y f x 的 导 函 数 为 ( )y f x , 当 0x 时 ,
( )( ) 0f xf x x
, 若 2 2 1 1( ), 2 ( 2), ln (ln )3 3 3 3a f b f c f ,则 , ,a b c 的大小关系
正确的是
A. a b c B.b c a C. a c b D. c a b
11. 将函数
62sin2 xxf 的图象向左平移
12
个单位,再向上平移1个单位,得到函
数 xg 的图象,若 921 xgxg ,且 2,2, 21 xx ,则 212 xx 的最大值为
A. 17
4
B. 25
6
C. 35
6
D. 49
12
12.若函数
xx
xxaxxf lnln
2
有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是
A. 11, 1
e
e e
B. 11, 1
e
e e
C. 1 , 11
e
e e
D. 1 , 11
e
e e
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 1a , 2b ,且 a a b ,则向量 a
在
b
b 方向上的投影为__________.
14.若 ,x y 满足条件
2 0,
4 0,
2,
x y
x y
y
,则 2z x y 的最小值为____________.理科数学试题 第 3 页 共 4 页
15.等差数列 na 、 nb 的前 n 项和分别为 nS 和 nT ,若
23
12
n
n
T
S
n
n ,则 3 11 19
7 15
a a a
b b
__________.
16.已知实数 0, 1a a ,函数 2
, 1
( ) 4 ln , 1
xa x
f x
x a x xx
在 R 上单调递增,则实数 a 的取
值范围是_________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
(一)必考题:60 分.
17.(本小题满分 12 分) 已知 nS 为数列 na 的前 n 项和,且3 1n nS a .
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)设
2 2 1
1
log logn
n n
b a a
,求数列 nb 的前 n 项和 nT .
18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ABC 中 , 角 CBA ,, 的 对 边 分 别 为 cba ,, . 且 满 足
AcCab sin3
3cos .
(1)求角 A 的大小;
(2)若边长 2a ,求 ABC 面积的最大值.
19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD
为菱形,PA 平面 ABCD , 2AB , 60ABC , ,E F 分别
是 ,BC PC 的中点.
(1)证明: PDAE ;
(2)设 H 为线段 PD 上的动点,若线段 EH 长的最小值为 5 ,
求二面角 E AF C 的余弦值.理科数学试题 第 4 页 共 4 页
20.(本小题满分 12 分) 已知点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 是抛物线 2 4y x 上相异两点,且满足
1 2 2x x .
(1)若 AB 的中垂线经过点 (0, 2)P ,求直线 AB 的方程;
(2)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方
程.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 22 12 xaxexf x , Ra .
(1)当 4a 时,求函数 xf 的单调区间;
(2)当 10 a 时,求证:函数 xf 有两个不相等的零点 21, xx ,且 221 xx .
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的
第一题计分.
22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为
sin4
2cos4
y
x ( 为参数),以O
为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为
6
( R ).
(1)求曲线C 的极坐标方程;
(2)设直线l 与曲线C 相交于 BA, 两点,求 AB 的值.
23. (本小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 142 xxxf , Rx .
(1)解不等式 9xf ;
(2)若方程 axxf 2 在区间 2,0 有解,求实数 a 的取值范围.