专题复习一 线段比例关系的证明和应用
证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．
1.如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论中，一定正确的是(A).
（第1题）（第2题）（第3题） （第4题）
2.如图所示，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为(B).
3.如图所示，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，则下列结论中不一定成立的是(B).
A. = B.PA·PD=PB·PC C. = D.PA·PB=PC·PD
4.如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连结DF并延长交AC于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF的长为(B).
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是AD边上一点，连结PB，PC，且AB2=AP·PD，则图中有 3 对相似三角形．
（第5题）（第6题） （第7题）
6.如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 2 .
7.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于点E，连结AE，若BE=AC，BD=2，DE+BC=10，则线段AE的长为 4 ．
8.如图所示，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且=.
（第8题）
（1）求证：△ADF∽△ACG.
（2）若=，求的值.
【答案】(1)∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C.又∵=，∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，∴
9.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是 的中点，BD交AC于点E，连结AD，CD．
（第9题）
（1）求证：AD2=DE·DB．
（2）若BC=，CD=，求DE的长．
【答案】(1)∵D是AC的中点，∴.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA，∴△ABD∽△EAD.∴=.∴AD2=DE·DB.
(2)∵D是的中点，∴AD=DC.∴DC2=DE·DB.∵CB是直径，∴△BCD是直角三角形.∴BD=.∵DC2=DE·DB，∴()2=5DE，解得DE=.
10.如图所示，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式为(A).
A.b=a+c B.b=ac C.b2=a2+c2 D.b=2a=2c
（第10题） （第11题） （第12题）（第13题）
11.如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC，BD交于点E，且AB=BD，EC=1，则AD的长为(A).
12.如图所示，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=2x
的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为(D).
A.4 B.-4 C.8 D.-8
13.在四边形ADBC中，∠ADB=∠ACB，CD平分∠ACB交AB于点E，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 2 ．
14.如图所示，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高线，在EC的延长线上任取一点P，连结AP，BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2=PE·DE．
（第14题）
【答案】∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt△ACE∽Rt△CBE.∴=.∴CE2=AE·BE.
∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB，∴∠P=∠DBE.
∴△AEP∽△DEB.∴=.∴PE·DE=AE·BE.∴CE2=PE·DE.
15.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE=∠BAC.
（1）求证：CD·AE=DE·BC.
（2）以点A为圆心、AB长为半径画弧交边BC于点F，连结AF.求证：AF2=CE·CA.
（第15题）
【答案】(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC，∴△ADE∽△CAB.∴
=.∴AB·AE=DE·BC.∵AB=CD，∴CD·AE=DE·BC.
(2)∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠DAB=∠BAC+∠CAD，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE∽△CAD.∴=
.∴CD2=CE·CA.由题意得AB=AF，AB=CD，∴AF=CD.∴AF2=CE·CA.
16.如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE，AD交于点P.求证：
（第16题）
（1）D是BC的中点．
（2）△BEC∽△ADC．
（3）AB·CE=2DP·AD．
【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴D是BC的中点.
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°.∴∠CEB=∠CDA=90°.∵∠C=∠C，∴△BEC∽△ADC.
(3)∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE.∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE.∴.∵BC=2BD,∴=.∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE.∴.∴AB·CE=2DP·AD.
17.如图1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）求证：△ABF∽△COE．
（2）如图2所示，当O为AC的中点，=2时，求的值．
（3）当O为AC的中点，=n时，请直接写出的值．
（第17题） （第17题答图）
【答案】(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C.
∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE.∴△ABF∽△COE.
(2)如答图所示，过点O作AC的垂线交BC于点H，则OH∥AB.∵△ABF∽△COE,∴∠AFB=∠OEC.
∴∠AFO=∠HEO.∵∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO.∴△OEH∽△OFA.∴OF∶OE=OA∶OH.∵O为AC的中点，OH∥AB，∴OH为△ABC的中位线.∴OH=AB，OA=OC=AC.∵=2，∴OA∶OH=2∶1.∴OF∶OE=2∶1，即=2.
(3) =n.
（第18题）
18.【株洲】如图所示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ等于(D).
A.5 B.4 C.3+ D.2+
19.【鞍山】如图所示，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F.
（1）求证：∠ADF=∠EAC.
（2）若PC=PA，PF=1，求AF的长.
（第19题） （第19题答图）
【答案】(1)∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°.
∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC.
(2)如答图所示，连结FC.∵CD是圆O的直径，∴∠DFC=90°.∴∠FDC+∠FCD=90°.∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC，∴∠FCD=∠EAC，即∠FCP=∠CAP.又∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA.∴
20.（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD·AC．
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，==1，求的值．
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F.若==n，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的代数式表示），不必证明．
（第20题） （第20题答图）
【答案】(1)∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC.∴=.∴AB2=AD·AC.
(2)如答图所示，过C作CG⊥AD交AD的延长线于点G.∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF.
∵==1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC.∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG.∴ED=GD=12EG.
由(1)可得：AB2=AE·AD,BD2=DE·AD，∴=4.∴AE=4DE.∴==2.
∵CG∥BF，∴==2.
(3)D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），有三种情况：
①当点D在线段BC上时，=n2+n.
②当点D在线段BC的延长线上时，=n2-n.
③当点D在线段CB的延长线上时，=n-n2.
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