盐城市2019届高三年级第一学期期中考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.若全集，，则= ▲ ．
2.函数的定义域为 ▲ ．
3.若钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则=
▲ ．
4.在中，角的对边分别为，若，则角= ▲ ．
5.已知向量，，其中.若，则= ▲ ．
6.设等差数列的前项和为，若，，则公差= ▲ ．
7.在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是 ▲ ．
8.设函数，则是函数为奇函数的 ▲ 条件.（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）
9.在中，，，，点为上一点，若则= ▲ ．
10.若函数的所有正零点构成公差为的等差数列，则
▲ ．
第11题
11.如图，在四边形中，，，，分别延长、至点、，使得，，其中，若，则的值为 ▲ ．
12.已知函数在上单调递增，则实数的
取值集合为 ▲ ．
13.已知数列满足其中，设
，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是 ▲ ．
14.在中，，的面积，为线段上一定点，且满足，若为线段上任意一点，且恒有，则线段的长为
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
若函数的图象与轴相切,
且图象上相邻两个最高点之间的距离为．
(1)求的值;
(2)求在上的最大值和最小值．
16. (本小题满分14分)
已知命题函数的图象与轴至多有一个交点，命题.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，求实数的取值范围.
17. (本小题满分14分)
在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求的大小；
（2）若，为的中点，且，求的面积.
18. (本小题满分16分)
如图，为某公园的一条道路，一半径为米的圆形观赏鱼塘与相切，记其圆心为，切点为.为参观方便，现新修建两条道路、，分别与圆相切于、两点，同时与分别交于、两点，其中、、三点共线且满足，记道路、长之和为.
（1）①设，求出关于的函数关系式；
②设米，求出关于的函数关系式.
第18题
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.
19. (本小题满分16分)
已知正项数列的首项，前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；
（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明：数列中只存在三项.
20. (本小题满分16分)
若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.
设函数，，.
（1）若为在处的切线.
①当有两个极值点、，且满足时，求的值及的取值范围；
②当函数与的图象只有一个交点，求的值；
（2）若对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数，都有成立，求满足的条件.
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）因为图像与轴相切，且，所以的最小值为，即，又由最高点间距离为，故，即 …………4分
（2）由（1）得，当时，有 …………8分
当时，有最大值；当时，有最小值，故函数的最大值
，最小值…14分
16．（1）解：由，得， …………2分
所以，解得，又因为真命题，所以或. …………6分
（2）由函数图像与轴至多一个交点，所以，
解得， …………8分
所以当是假命题时，或， …………10分
由（1）为真命题，即是假命题，所以或，
又为假命题，所以命题都是假命题， …………12分
所以实数满足，解得或. …………14分
17．解:（1）由正弦定理知，所以,
即 …………2分
所以，化简得
， …………4分
因为中，，所以，即，
又， 所以 …………6分
（2）因为
， …………8分
所以
，由，解得……12分
所以的面积 …………14分
（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）
18．解：（1）①在中，，所以，所以…………2分
在中，所以 ……4分
其中 …………5分
②设，则在中，由与相似得，,
即，即，即，即即，化简得， …………9分其中 …………10分
（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.
令，得. …………14分
令,当时，，所以递减；
当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少 …………16分
（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式求解，仿此给分）
19．解：（1） ，故当时，两式做差得， …………2分
由为正项数列知，，即为等差数列，故 …………4分
（2）由题意， ，化简得 ，所以 ，…………6分
所以，由题意知
恒成立，即恒成立，所以，解得 …………8分
（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，
即 …………11分
带入，可得 （*），
若则，即为常数数列，与条件矛盾;
若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项 ……………16分
20．解：（1）①由，因函数有两个极值点，
所以两个不等的实数根， ……………2分
所以，即，又，所以，或. ……………4分
②因为函数在处的切线，
所以， ……………5分
联立方程组，即，
所以， ……………7分
整理得，解得或，
因与只有一个交点，所以，解得. ……………9分
（2）联立方程组，由②得，
即，方程有一根
因与有三个交点，
所以有两个不等实根， ……………11分
因与有三个交点且满足，
所以实数根满足，或，或， ……………12分
因为满足与有三个交点的任意实数，
令，则，解得，，
当时，得，，
此时，令，则，
解得，，不满足与，不符题意；
同理也不符题意； ……………14分
当时，由，得，
此时总满足，
为此只需有两个不等的实根即可，
所以，化简得，
综上所述，应满足条件与. ……………16分
（另解，仿解法一给分）
法二：同法一得有两个不等实根， ……11分
所以，
由，解得，，
此时，所以为常数，
不满足“为满足与有三个交点的任意实数”，故不符题意；
类似的也不符题意； ……………14分
余下同方法一.
盐城市2019届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）因为图像与轴相切，且，所以的最小值为，即，又由最高点间距离为，故，即 …………4分
（2）由（1）得，当时，有 …………8分
当时，有最大值；当时，有最小值，故函数的最大值，最小值…14分
16．（1）解：由，得， …………2分
所以，解得，又因为真命题，所以或. …………6分
（2）由函数图像与轴至多一个交点，所以，
解得
， …………8分
所以当是假命题时，或， …………10分
由（1）为真命题，即是假命题，所以或，
又为假命题，所以命题都是假命题， …………12分
所以实数满足，解得或. …………14分
17．解:（1）由正弦定理知，所以,
即 …………2分
所以，化简得
， …………4分
因为中，，所以，即，
又， 所以 …………6分
（2）因为， …………8分
所以
，由，解得……12分
所以的面积 …………14分
（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）
18．解：（1）①在中，，所以，所以…………2分
在中，所以 ……4分
其中 …………5分
②设，则在中，由与相似得，,
即，即，即，即即，化简得， …………9分其中 …………10分
（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.
令，得
. …………14分
令,当时，，所以递减；
当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少 …………16分
（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式求解，仿此给分）
19．解：（1） ，故当时，两式做差得， …………2分
由为正项数列知，，即为等差数列，故 …………4分
（2）由题意， ，化简得 ，所以 ，…………6分
所以，由题意知
恒成立，即恒成立，所以，解得 …………8分
（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，
即 …………11分
带入，可得 （*），
若则，即为常数数列，与条件矛盾;
若，令得，令得
，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项 ……………16分
20．解：（1）①由，因函数有两个极值点，
所以两个不等的实数根， ……………2分
所以，即，又，所以，或. ……………4分
②因为函数在处的切线，
所以， ……………5分
联立方程组，即，
所以， ……………7分
整理得，解得或，
因与只有一个交点，所以，解得. ……………9分
（2）联立方程组，由②得，
即，方程有一根
因与有三个交点，
所以有两个不等实根， ……………11分
因与有三个交点且满足，
所以实数根满足，或，或， ……………12分
因为满足与有三个交点的任意实数，
令，则，解得，，
当时，得，，
此时，令，则，
解得，，不满足与，不符题意；
同理也不符题意； ……………14分
当时，由，得，
此时总满足，
为此只需有两个不等的实根即可，
所以，化简得，
综上所述，应满足条件与. ……………16分
（另解，仿解法一给分）
法二：同法一得有两个不等实根， ……11分
所以，
由，解得，，
此时，所以为常数，
不满足“为满足与有三个交点的任意实数”，故不符题意；
类似的也不符题意； ……………14分
余下同方法一.
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