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静海区2018—2019学年度第一学期四校联考试卷
高三数学（理工类）试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题（共8题：每题5分，共40分）
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知x、y满足，则的最小值为（ ）
A． 4 B． 6 C． 12 D． 16
3．执行如图所示程序框图，输出的S＝（ ）
A． 25 B． 9 C． 17 D． 20
4．“”是“”的（ ）
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件
D． 既不充分也不必要条件
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则=（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．在梯形中，∥，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（共6题；每题5分，共30分）
9．若复数满足，则为__________
10．的展开式中的系数为
__________．（用数字作答）
11．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.
12．直线的参数方程为 为参数），圆的参数方程为为参数），则直线被圆截得弦长为__________．
13．已知正实数 a，b，c满足，，则的取值范围是____________．
14．（本题5分）已知函数若方程有四个不等的实数根，则实数的取值
范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在中，，，的对边分别为，已知，，求的值.
16．（本小题13分）
某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；
（2）若从A、B两组中各任选2人，设为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求的分布列和数学期望.
17．（本小题13分）
如图， 且AD=2BC， , 且EG=AD， 且CD=2FG，
，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： ；
（II）求二面角的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为
60°，求线段DP的长.
18．（本小题13分）
数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
19．（本小题14分）
已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本小题14分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若在区间（0，e］上的最大值为－3，求m的值；
（3）若x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（本题5分）已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【详解】
∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，
B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，
∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．
故选：C．
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（本题5分）已知x、y满足，则的最小值为（ ）
A． 4 B． 6 C． 12 D． 16
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
令z=3x﹣y，化为y=3x﹣z，
由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
3．（本题5分）执行如图所示程序框图，输出的S＝（ ）
A． 25 B． 9 C． 17 D． 20
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．
【详解】
按照程序框图依次执行为，，；
，，；
，，，
退出循环，输出．故应选C．
【点睛】
解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
4．（本题5分）“”是“”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别判定充分性和必要性，得到结果
【详解】
，
，
当时，
，
，则“”是“”的必要不充分条件
故选
【点睛】
本题主要考查了充要条件必要条件的判断，属于基础题。
5．（本题5分）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
,
故答案为：D.
6．（本题5分）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则=
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.
【详解】
函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，
再向左平移后得到，
因为的图象关于于对称，
，解得，
当时，，故选B.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
7．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．
【详解】
如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，
.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.
故选A.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．
8．（本题5分）在梯形中，∥，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的数量积转化为关于λ的表达式；再根据打钩函数的单调性判断最值。
【详解】
因为∥，
所以ABCD是直角梯形，且CM= ，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系
因为，，动点和分别在线段和上，则
所以
令且
由基本不等式可知，当时可取得最大值，则
所以选D
【点睛】
本题考查了向量数量积和打钩函数的综合应用。利用坐标法研究向量的关系是非常简便实用的方法；使用基本不等式要注意“一正二定三相等”这些条件是否满足，属于中档题。
二、填空题
9．（本题5分）若复数满足，则为__________
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再由共轭复数的定义求解.
【详解】
由，
得，
所以，，故答案为.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．（本题5分）的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
【答案】60
【解析】
的展开式的通项公式为
令得
∴的系数为
故答案为60
11．（本题5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.
【答案】33π
【解析】
【分析】
由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，上半部分是半径为3的半球，由此能求出该几何体的表面积.
【详解】
由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，
上半部分是半径为3的半球，
∴该几何体的表面积，故答案为.
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的面积公式进行求解，考查了空间想象能力．注意“高平齐，长对正，宽相等”原则.
12．（本题5分）直线的参数方程为 为参数），圆的参数方程为为参数），则直线被圆截得弦长为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先将直线与圆的参数方程化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离，结合弦长与弦心距的关系，即可求出结果.
【详解】
直线的参数方程为 为参数），消去，
直线的普通方程：
圆的参数方程为为参数），消去，
圆的普通方程：，圆心坐标，半径.
圆心到直线的距离：
根据弦长与弦心距的关系，弦长为.
故答案为3.
【点睛】
本题考查直线与圆的参数方程、相交弦问题，参数方程化为普通方程的关键是消参.
圆的弦长计算常用三种方法：
（1）几何法，即根据弦心距（圆心到直线的距离），圆的半径和弦长的一半满足勾股定理，可以通过弦心距和圆的半径求得弦长.
（2）代数法，设交点坐标为，联立直线与圆的方程，整理得一元二次方程，结合韦达定理计算弦长 或
（3）参数方程法，设交点坐标的参数为
，将直线的参数方程代入到圆的普通方程，整理成关于的一元二次方程，结合韦达定理计算弦长.
13．（本题5分）已知正实数 a，b，c满足，，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】
由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.
14．（本题5分）已知函数若方程有四个不等的实数根，则实数的取值
范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数图像可知，令 ，欲使原方程有四个不等根 ,则有两个根，分别为，或，（舍）或，（舍），再令，结合二次函数的图像列不等式求解即可.
【详解】
令 则 ① 欲使原方程有四个不等根 ,
由图像知方程①两根为，或，（舍）或，（舍）
令 则 .
.
【点睛】
本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题
15．（本题13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在中，，，的对边分别为，已知，，
求的值.
【答案】（Ⅰ），， （Ⅱ），
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据辅助角公式即可求得，即可求得最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）由，即可求得，利用余弦定理及正弦定理即可求得和的值．
试题解析：（Ⅰ）由
∴周期为，
∵
∴ ，
∴函数的单减区间为，；
（Ⅱ）∵
∴；
∴，，
又∵
∴，
解得：，，
∴，的值1，2.
16．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；
（2）若从A、B两组中各任选2人，设为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出（2）X可能的取值为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.
【详解】
⑴设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件，
则，
答：选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.
⑵可能的取值为，
，，
，故.
所以的分布列为：
X
0
1
2
3
所以的数学期望
.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.
17．（本题13分）如图， 且AD=2BC， , 且EG=AD， 且CD=2FG， ，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： ；
（II）求二面角的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .
【解析】分析：依题意，可以建立以D为原点，分别以， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.
（Ⅰ）由题意可得：平面CDE的一个法向量n0=（1，0，–1）．又=（1， ，1），故，MN∥平面CDE．
（Ⅱ）依题意可得平面BCE的一个法向量n=（0，1，1）．平面BCF的一个法向量为m=（0，2，1）．据此计算可得二面角E–BC–F的正弦值为．
（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），结合空间向量的结论计算可得线段的长为.
详解：依题意，可以建立以D为原点，
分别以， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），
可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），
E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0， ，1），N（1，0，2）．
（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．
设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，
则 即
不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．
又=（1， ，1），可得，
又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），， =（0，–1，2）．
设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，
则 即
不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．
设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，
则 即
不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．
因此有cos=，于是sin=．
所以，二面角E–BC–F的正弦值为．
（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），
可得．
易知， =（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，
故，
由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．
所以线段的长为.
点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．（本题13分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】（1） ；(2);（3） .
【解析】
【分析】
（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列{bn}满足：an=，可得n≥2时，an﹣an﹣1==2．n=1时，=a1=2，可得b1;（3）cn===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出An．进而得出数列{cn}的前n项和Tn．
【详解】
（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．
n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．
∴an=2n．
（2）数列{bn}满足：an=+++…+，∴n≥2时，an﹣an﹣1==2．
∴bn=2（3n+1）．
n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．
∴bn=2（3n+1）．
（3）cn===n•3n+n，
令数列{n•3n}的前n项和为An，则An=3+2×32+3×33+…+n•3n，
∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
可得An=．
∴数列{cn}的前n项和Tn=+．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
19．（本题14分）已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由椭圆定义直接求得即可.
（2）假设存在点,使得为定值，当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程通过设而不求得的表达式，再讨论其是否过定点.最后将直线的斜率为的情况代入检验即可.
【详解】
（1）由已知得，∴，则的方程为；
（2）假设存在点,使得为定值，
当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，
联立, 得
设，则，
要使上式为定值, 即与无关，应有
解得，此时
当直线的斜率为时，不妨设，当的坐标为时
综上，存在点使得为定值．
【点睛】
本题考查椭圆方程及直线与椭圆中的定值问题，设而不求是此类问题中的常规解法，解题中直线方程设为，则要注意检验直线方程斜率为0的情况.
20．（本题14分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若在区间（0，e］上的最大值为－3，求m的值；
（3）若x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）先求出函数的定义域，求出导函数后根据导函数的符号可得单调区间；（2）根据题意求出，然后根据的取值范围讨论得到函数的单调性，根据的单调性求出函数的最值；（3）利用分离参数的方法，转化成求函数的最值的问题求解，然后根据函数的单调性求解即可．
【详解】
（1）由题意得函数的的定义域为．
∵，
∴，
由，得；
由，得．
∴函数的增区间为．
（2）由题意得，
∴，，
①当，即时，则，在上是增函数，
∴ ，不合题意；
②当，即时，则由，得，
若，则在上是增函数，由①知不合题意；
若，则在上是增函数；在上为减函数，
∴ ，
∴ ，
解得，满足题意．
综上可得．
（3）∵当时，恒成立，
∴当时恒成立，
令，，
则恒成立，
∴在上为增函数，
∴ ，
∴ ．
∴实数k的取值范围为．
【点睛】
（1）用导数解决函数的问题时，可先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值或最值．对于解析式中含有参数的问题，求解时注意分类讨论的运用．
（2）解答恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，通过分离参数将问题转化成求具体函数的最值的问题处理，体现了转化思想方法的运用．
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