2018年上海市普陀区中考数学一模试卷（含答案解析）.docx

‎2018 年上海市普陀区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]‎ 1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）‎ C． D．y=（x﹣1）2﹣x2‎ ‎【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；‎ B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；‎ C、y=不是二次函数；‎ D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数． 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．‎ 2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（ ） A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA ‎【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，‎ ‎∴cosA= =， 故 AB=，‎ 故选项 A，B 错误；‎ tanA= = ，‎ 则 BC=2tanA，故选项 C 正确； 则选项 D 错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．‎ 1. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 ED∥BC 的是（ ）‎ A．‎ B． C． D．‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：A．当时，能判断 ED∥BC；‎ B. 当时，能判断 ED∥BC；‎ C. 当时，不能判断 ED∥BC；‎ D. 当时，能判断 ED∥BC； 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边 ‎（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边．‎ 1. 已知，下列说法中，不正确的是（ ）‎ A． B．与方向相同 C． D．‎ ‎【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．‎ ‎【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；‎ B、正确．因为，所以与的方向相同；‎ C、正确．因为，所以∥；‎ D、正确．因为，所以||=5||； 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量， 也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．‎ 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，‎ ‎∴AE∥CD，‎ ‎∴△EAF∽△CDF，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴△EAF∽△EBC，‎ ‎∴=， 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．‎ 1. 如图，已知 AB 和 CD 是⊙O 的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点 M、N，BA、DC 的延长线交于点 P，联结 OP．下列四个说法中：‎ ‎①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌‎ Rt△OPN 即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图连接 OB、OD；‎ ‎∵AB=CD，‎ ‎∴=，故①正确 ‎∵OM⊥AB，ON⊥CD，‎ ‎∴AM=MB，CN=ND，‎ ‎∴BM=DN，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴Rt△OMB≌Rt△OND，‎ ‎∴OM=ON，故②正确，‎ ‎∵OP=OP，‎ ‎∴Rt△OPM≌Rt△OPN，‎ ‎∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，‎ ‎∵AM=CN，‎ ‎∴PA=PC，故③正确， 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ 二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）‎ ‎7． 如 果 = ， 那么 = ．‎ ‎【分析】利用比例的性质由 =得到 =，则可设 a=2t，b=3t，然后把 a=2t，‎ b=3t 代入中进行分式的运算即可．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴=，‎ 设 a=2t，b=3t，‎ ‎∴==．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．‎ ‎8．已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段 c 是 线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 6 厘米．‎ ‎【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．‎ ‎【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．‎ 所以 c2=4×9，解得 c=±6（线段是正数，负值舍去），‎ ‎∴c=6cm，‎ 故 答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念， 属于中考常考题型．‎ ‎9．化简： = ﹣4 +7 ．‎ ‎【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可 ‎【解答】解：： =﹣4+6=﹣4+7，故答案为；‎ ‎【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．‎ 10. 在直角坐标系平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 下降 的 ‎（填“上升”或“下降”）‎ ‎【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，‎ ‎∴抛物线开口向上，‎ ‎∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的， 故答案为：下降．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．‎ 11. 二次函数 y=（x﹣1）2﹣3 的图象 与 y 轴的交点坐标是 （0，﹣2） ．‎ ‎【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标．‎ ‎【解答】解：把 x=0 代入 y=（x﹣1）2﹣3 得 y=1﹣3=﹣2， 所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2），‎ 故答案为（0，﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在 y 轴上的点的横坐标为 0．‎ 10. 将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 y=2（x+3）2+1 ．‎ ‎【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．‎ ‎【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．‎ 故答案为：y=2（x+3）2+1．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变， 故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ 11. 在直角坐标平面内有一点 A（3，4），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是 ．‎ ‎【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．‎ ‎【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点 A（3，4），‎ ‎∴OA= =5，‎ ‎∴cosα= ． 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．‎ 12. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边BC、AB 上，且∠ADE=‎ ‎∠B，如果 DE：AD=2：5，BD=3，那么 AC= ， ．‎ ‎【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：∵∠ADE=∠B，‎ ‎∵∠EAD=∠DAB，‎ ‎∴△AED∽△ABD，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴AB= ，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AC= ，‎ 故答案为：，‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．‎ 10. 如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，背水坡 AB 的坡角为 30°，迎水坡 CD 的坡度为 1：2，那么坝底 BC 的长度等于 （46+20 ） 米（结果保留根号）‎ ‎【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF 求得线段 BE、CF 的长，然后与 EF 相加即可求得 BC 的长．‎ ‎【解答】解：如图，作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，则四边形 ADFE 是矩形．‎ 由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，‎ 在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，‎ ‎∴BE=AE=20 米．‎ 在 Rt△CFD 中，∵=，‎ ‎∴CF=2DF=40 米，‎ ‎∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．‎ 所以坝底 BC 的长度等于（46+20）米． 故答案为（46+20）．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．‎ 10. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点 D， 以点 D 为圆心作⊙D，使得点 A 在⊙D 外，且点 B 在⊙D 内．设⊙D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是 ．‎ ‎【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，进而得出 CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90，AC=3，BC=，‎ ‎∴AB= =4．‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴CD=．‎ ‎∵AD•BD=CD2，‎ 设 AD=x，BD=4﹣x． 解得 x=‎ ‎∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，‎ r 的范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．‎ 10. 如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，已知点 E、点 F 分别为△ABD 和△ADC 的重心，如 果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4 ．‎ ‎【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．‎ ‎【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，‎ ‎∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，‎ ‎∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，‎ ‎∵BC=12，‎ ‎∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，‎ ‎∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，‎ ‎∴△EAF∽△GAH，‎ ‎∴==，‎ ‎∴EF=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍．‎ 10. 如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，将△ABC 翻折，使得点 A 落到边 BC 上的点 A′处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F，如果 A′F∥AB，那么 BE= ．‎ ‎【分析】设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ‎∽△BCA，可得=，即 =，进而得到 BE=．‎ ‎【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，‎ ‎∵A'F∥AB，‎ ‎∴∠AEF=∠A'FE，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF，‎ 由折叠可得，AF=A'F，‎ 设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，‎ ‎∵A'F∥AB，‎ ‎∴△A'CF∽△BCA，‎ ‎∴=，即= ， 解得 x=，‎ ‎∴BE=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称， 折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．‎ 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）‎ ‎19．（10 分）计算： 45°．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案 ．‎ ‎【解答】解：原式=﹣ ×‎ ‎= ﹣‎ ‎= ．‎ ‎【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20 ．（10 分）已知一个二次函数的图象经过 A（0，﹣3），B（1，0），C（m，‎ ‎2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点 C 的坐标．‎ ‎【分析】设一般式 y=ax2+bx+c，把 A、B、D 点的坐标 代入得，然 后 解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．‎ ‎【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，‎ 把 A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，‎ 把 C（m，2m+3）代入得 2m2+m﹣3=2m+3，解得 m1=﹣，m2=2，‎ ‎∴C 点坐标为（﹣，0）或（2，7）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．‎ ‎21．（10 分）如图，已知⊙O 经过△ABC 的顶点 A、B，交边 BC 于点 D，点 A 恰为的中点，且 BD=8，AC=9，sinC= ，求⊙O 的半径．‎ ‎【分析】如图，连接 OA．交 BC 于 H．首先证明 OA⊥BC，在 Rt△ACH 中， 求出 AH，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，根据 BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．‎ ‎∵点 A 为的中点，‎ ‎∴OA⊥BD，BH=DH=4，‎ ‎∴∠AHC=∠BHO=90°，‎ ‎∵sinC== ，AC=9，‎ ‎∴AH=3，‎ 设⊙O 的半径为 r，‎ 在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，‎ ‎∴42+（r﹣3）2=r2，‎ ‎∴r=，‎ ‎∴⊙O 的半径为 ．‎ ‎【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．‎ ‎22．（10 分）下面是一位同学的一道作图题：‎ 已知线段 a、b、c（如图），求作线段 x，使 a：b=c：x 他的作法如下：‎ （1） ‎、以点 O 为端点画射线 OM，ON．‎ （2） ‎、在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b．‎ （3） ‎、在 ON 上截取 OC=c．‎ （4） ‎、联结 AC，过点 B 作 BD∥AC，交 ON 于点D．所以：线段 CD 就是所求的线段 x．‎ ‎①试将结论补完整 ‎②这位同学作图的依据是 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例 ‎ ‎③如果 OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．‎ ‎【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；‎ ‎②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；‎ ‎③先证△OAC∽△OBD 得 = ，即 BD= AC，从而知= =﹣ =﹣‎ ‎．‎ ‎【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x， 故答案为：CD；‎ ‎②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；‎ 故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；‎ ‎③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，‎ ‎∴△OAC∽△OBD，‎ ‎∴=，即= ，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∴= =﹣ =﹣ ．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．‎ ‎23．（12 分）已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相 交于点E，AD=DC，‎ DC2=DE•DB，求证：‎ （1） ‎△BCE∽△ADE；‎ （2） AB•BC=BD•BE．‎ ‎【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．‎ ‎（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA， 利用相似三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD=DC，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，‎ ‎∵DC2=DE•DB，‎ ‎∴=，∵∠CDE=∠BDC，‎ ‎∴△CDE∽△BDC，‎ ‎∴∠DCE=∠DBC，‎ ‎∴∠DAE=∠EBC，‎ ‎∵∠AED=∠BEC，‎ ‎∴△BCE∽△ADE，‎ ‎（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC ‎∴AD2=DE•DB，‎ 同法可得△ADE∽△BDA，‎ ‎∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，‎ ‎∵△BCE∽△ADE，‎ ‎∴∠ADE=∠BCE，‎ ‎∴△BCE∽△BDA，‎ ‎∴ = ，‎ ‎∴AB•BC=BD•BE．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．‎ ‎24．（12 分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+2ax+c（其中 a、c 为常数，且 a＜0）与 x 轴交于点 A，它的坐标是（﹣3，0），与 y轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4‎ （1） 求抛物线的表达式；‎ （2） 求∠CAB 的正切值；‎ （3） 如果点 P 是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点 P 的坐标．‎ ‎【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得 a 的值即可；‎ （2） 先求得 A、B、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到 BC、AB、‎ AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；‎ （2） 记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D．先求得 D（1，0），然后再证明∠DBO=‎ ‎∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠‎ CAO；当点 P 在 AB 的上时．过点 P 作 PE∥AO，过点 B 作 BF∥AO，则 PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则 tan∠EPB=，设 BE=t，则 PE=3t，‎ P（﹣3t，3+t），将 P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得 t 的值，从而可得到点 P 的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x=﹣=﹣1．‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下．‎ 又∵抛物线与 x 轴有交点，‎ ‎∴C 在 x 轴的上方，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．‎ 设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．‎ （2） 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=3，‎ ‎∴B（0，3）．‎ ‎∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），‎ ‎∴BC=，AB=3 ，AC=2 ，‎ ‎∴BC2+AB2=AC2，‎ ‎∴∠ABC=90°．‎ ‎∴tan∠CAB= = ．‎ （2） 如图 1 所示：记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D．‎ ‎∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，‎ ‎∴D（1，0）．‎ ‎∴tan∠DBO= ．‎ 又∵由（2）可知：tan∠CAB=．‎ ‎∴∠DBO=∠CAB． 又∵OB=OA=3，‎ ‎∴∠BAO=∠ABO．‎ ‎∴∠CAO=∠ABD．‎ ‎∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，‎ ‎∴P （1，0）．‎ 如图 2 所示：当点 P 在 AB 的上时．过点P 作 PE∥AO，过点 B 作 BF∥AO， 则 PE∥BF．‎ ‎∵BF∥AO，‎ ‎∴∠BAO=∠FBA． 又∵∠CAO=∠ABP，‎ ‎∴∠PBF=∠ CAB． 又∵PE∥BF，‎ ‎∴∠EPB=∠PBF，‎ ‎∴∠EPB=∠CAB．‎ ‎∴tan∠EPB= ．‎ 设 BE=t，则 PE=3t，P（﹣3t，3+t）．‎ 将 P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3 得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得 t=0（舍去）或 t=．‎ ‎∴P（﹣，）．‎ 综上所述，点 P 的坐标为 P（1，0）或 P（﹣，）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应 用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．‎ ‎25．（14 分）如图 1，∠BAC 的余切值为 2，AB=2，点 D 是线段 AB 上的一动点（点 D 不与点 A、B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E、F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧，联结 BG，并延长 BG， 交射线 EC 于点 P．‎ （1） 点 D 在运动时， 下列的线段和角中， ④⑤ 是始终保持不变的量（填序号）；‎ ‎①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；‎ （1） 设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出定义域；‎ （2） 如果△PFG 与△AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．‎ ‎【分析】（1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图，利用三角函数的定义得到 ‎=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得 t=2，即 BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，则 AE=2x，AF=3x，由于 tan∠GAF= =，则可判断∠GAF 为定值；再利用 DG∥AP 得到∠BDG=‎ ‎∠BAC，则可判断∠BDG 为定值；在 Rt△BMP 中，利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化，∠BPM 在变化，PF 在变化；‎ （2） 易得四边形DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到 y 与 x 的关系式；‎ （3） 由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG 与△AFG 相似，且面积不相等，利用 相似比得到 PF=x，讨论：当点 P 在点 F 点右侧时，则 AP=x，所以 ‎= x，当点 P 在点 F 点左侧时，则 AP= x，所以 = x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．‎ ‎【解答】解：（1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图 ，在 Rt△ABM 中，∵cot∠BAC==2，‎ 设 BM=t，则 AM=2t，‎ ‎∵AM2+BM2=AB2，‎ ‎∴（2t）2+t2=（2 ）2，解得 t=2，‎ ‎∴BM=2，AM=4，‎ 设正方形的边长为 x，‎ 在 Rt△ADE 中，∵cot∠DAE==2，‎ ‎∴AE=2x，‎ ‎∴AF=3x，‎ 在 Rt△GAF 中，tan∠GAF=== ，‎ ‎∴∠GAF 为 定值；‎ ‎∵DG∥AP，‎ ‎∴∠BDG=∠BAC，‎ ‎∴∠BDG 为定值；‎ 在 Rt△BMP 中，PB=， 而 PM 在变化，‎ ‎∴PB 在变化，∠BPM 在变化，‎ ‎∴PF 在变化，‎ 所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量； 故答案为④⑤；‎ （2） 易得四边形 DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，‎ ‎∵DG∥AP，‎ ‎∴△BDG∽△BAP，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴y= （1≤x＜2）‎ （2） ‎∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG 与△AFG 相似，且面积不相等，‎ ‎∴=，即= ，‎ ‎∴PF=x，‎ 当点 P 在点 F 点右侧时，AP=x，‎ ‎∴=x， 解得 x=，‎ 当点 P 在点 F 点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x= x，‎ ‎∴=x， 解得 x=，‎ 综上所 述，正方形的边长为或．‎ ‎【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．‎